（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练六十七 12.8 二项分布、正态分布及其应用

核心素养提升练六十七二项分布、正态分布及其应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B,则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB,“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A,由题意得P(A)=,P(AB)=,则P(B|A)==.2.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【解析】选A.设“一天的空气质量为优良”为事件A,“连续两天为优良”为事件AB,则已知某天的空气质量为优良,随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A).由条件概率可知,P(B|A)====0.8.3.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=2)=()A.B.C.D.【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布X～B,所以P(X=2)=××=.4.甲、乙两人抢答竞赛题,甲答对的概率为,乙答对的概率为,则两人中恰有一人答对的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.第一种:甲答对,乙答错,此时概率为×1-=;第二种:甲答错,乙答对,此时的概率为1-×=.综上,两人中恰有一人答对的概率为+=.5.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:使用时间/天10～2021～3031～4041～5051～60个数1040805020若以频率为概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=,则所求概率为×+=.6.某人抛硬币4次,恰好出现3次正面向上的概率为a;随机变量X～N(100,σ2),P(X80)=,P(80≤X120)=b,则+=()A.B.C.4D.6【解析】选D.由题意,a==,b=P(80≤X120)=1-P(X80)-P(X≥120)=1--=,所以+=4+2=6.7.在一次数学竞赛选拔测试中,每人解3道题,至少解对2道题才能通过测试被选上,设某同学解对每道题的概率均为p(0p1),且该同学是否解对每道题互相独立,若该同学通过测试被选上的概率恰好是p,则p的值为()A.B.C.D.【解析】选A.根据题意,分析可得该同学通过测试被选上有2种情况:3道题答对两道或全答对,则概率为p2(1-p)+p3=p,解可得p=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.甲,乙,丙三人到三个景点旅游,每个人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,事件B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)=________.【解析】甲独自去一个景点,则有3个景点可选,乙丙只能在甲剩下的那两个景点中选择,可能性为2×2=4.所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12,因为三个人去的景点不同的可能性为3×2×1=6,所以P(A|B)==.答案:9.(2018·贺州模拟)科目二,又称小路考,是机动车驾驶证考核的一部分,是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为,且每次考试相互独立,则甲第3次考试才通过科目二的概率为________.【解析】甲第3次考试才通过科目二,则前两次都未通过,第3次通过,故所求概率为1-2×=.答案:10.设随机变量X服从正态分布N(3,4),若P(X2a-3)=P(Xa+2),则a=________.【解析】因为X服从正态分布N(3,4),P(X2a-3)=P(Xa+2).所以2a-3+a+2=6,a=.答案:(15分钟30分)1.(5分)(2018·兰州模拟)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σξμ+σ)≈68.27%,P(μ-2σξμ+2σ)≈95.45%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【解析】选B.由正态分布的概率公式知P(-3ξ3)≈68.27%,P(-6ξ6)≈95.45%,故P(3ξ6)=[P(-6ξ6)-P(-3ξ3)]≈(95.45%-68.27%)=13.59%.2.(5分)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于()A.B.C.D.【解析】选A.由题意得P(A)===,P(AB)=,由条件概率公式得P(B|A)===.3.(5分)高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考试,已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中得A+的概率分别为,,,这三门科目考试成绩的结果互不影响,则这位考生至少得2个A+的概率是________.【解析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中得A+的事件分别为A,B,C,因为这位同学在物理、化学、政治科目考试中得A+的概率分别为,,,所以P(A)=,P(B)=,P(C)=,这三门科目考试成绩的结果互不影响,则这位考生至少得2个A+的概率:P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=××+××+××+××=.答案:4.(15分)(2018·韶关模拟)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按行驶里程数R(单位:公里)可分为三类车型,A:80≤R150,B:150≤R250,C:R≥250.甲从A,B,C三类车型中挑选,乙从B,C两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如表:ABC甲pq乙若甲、乙都选C类车型的概率为.(1)求p,q的值.(2)求甲、乙选择不同车型的概率.(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如表:车型ABC补贴金额(万元/辆)345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X,求X的分布列.【解析】(1)甲选C为事件甲C,=q,乙选C为事件乙C,=,所以根据题意:·=q=,所以q=.又因为+p+q=1,所以p=.(2)甲乙选不同车型为事件M,则M=甲A乙BC+甲B乙C+甲C乙B所以P(M)=×1+×+×=.(3)根据题意,X为7,8,9,10,P(X=7)=×=.P(X=8)=×+×==.P(X=9)=×+×==.P(X=10)=×=.其分布列为X78910P【变式备选】一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的质量频率分布直方图.(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数.(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列.(以直方图中的频率作为概率)【解析】(1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克,而50个样本中小球质量的平均数为=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).故由样本估计总体,可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克.(2)由题意知,该盒子中小球质量在[5,15]内的概率为,则X～B3,.X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=0×3=,P(X=1)=1×2=,P(X=2)=2×1=,P(X=3)=3×0=.所以X的分布列为X0123P