（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 核心素养提升练二十六 5.2 平面向量的基本定理及向量坐标

核心素养提升练二十六平面向量的基本定理及向量坐标运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=【解析】选B.两个不共线的非零向量构成一组基底.【变式备选】(2018·珠海一模)如图,设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,给出下列向量组:①与;②与;③与;④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A.①②B.①③C.①④D.③④【解析】选B.①中,不共线;③中,不共线.②④中的两向量共线,因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底,所以选B.2.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)【解析】选A.=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即3.已知在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),则=()A.(-1,-12)B.(-1,12)C.(1,-12)D.(1,12)【解析】选B.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=(-1,12).【变式备选】若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b【解析】选B.令c=λa+μb,则所以所以c=a-b.4.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,则tan等于()A.3B.-3C.D.-【解析】选B.因为a∥b,所以cosα+2sinα=0,所以tanα=-,所以tan==-3.5.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线【解析】选B.因为=λ+(1-λ)=+λ(-),所以=λ,λ∈(1,2),所以点B在线段AM上.6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-B.C.D.【解析】选A.=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.【变式备选】(2018·贵阳监测考试)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ=________.【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.答案:07.已知AC⊥BC,AC=BC,点D满足=t+(1-t),若∠ACD=60°,则t的值为()A.B.-C.-1D.【解析】选A.由题意知D在直线AB上.令CA=CB=1,建立平面直角坐标系,如图,则B点坐标为(1,0),A点坐标为(0,1).令D点的坐标为(x,y),因为∠DCB=30°,则直线CD的方程为y=x,易知直线AB的方程为x+y=1,由得y=,即t=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,则实数x的值为________.【解析】因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10x=5,解得x=.答案:9.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若=+λ(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为________.【解析】设P(x,y),则由=+λ,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),所以x=5λ+4,y=7λ+5.又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-.答案:-【变式备选】已知点A(-1,2),B(2,8),=,=-,则的坐标为________.【解析】设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).因为=,=-,所以有和解得和所以点C,D的坐标分别为(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).答案:(-2,-4)10.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.【解析】=+,=+=+,=-.所以=λ+μ=λ+μ(-)=(λ-μ)+,所以解得λ=,μ=.所以λ+μ=.答案:(20分钟40分)1.(5分)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为()A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)【解析】选D.由题知4a=(4,-12),3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4,-6).2.(5分)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则等于()A.-2B.2C.-D.【解析】选C.由题意得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),因为(ma+nb)∥(a-2b),所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0.所以=-.【变式备选】已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为()A.(-8,1)B.C.D.(8,-1)【解析】选B.设P(x,y),则=(x-3,y+2),而=(-8,1)=,所以解得所以P点坐标为.3.(5分)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示),若=λ+μ,则λ+μ的值是________.【解析】建立如图所示直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),E(1,0),F,所以=(-1,1),=,则=λ+μ=,又因为以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P,所以点P的坐标为P,=,所以-λ+μ=,λ+μ=,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.答案:【变式备选】如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是________.【解析】由题意得,=k(k0),又|k|=1,所以-1k0.又因为B,A,D三点共线,所以=λ+(1-λ),所以m+n=kλ+k(1-λ),所以m=kλ,n=k(1-λ),所以m+n=k,从而m+n∈(-1,0).答案:(-1,0)4.(12分)已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式.(2)若=2,求点C的坐标.【解析】(1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1),因为A,B,C三点共线,所以∥.所以2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)因为=2,所以(a-1,b-1)=2(2,-2).所以解得所以点C的坐标为(5,-3).【变式备选】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,有=3c,=-2b,求:(1)3a+b-3c.(2)满足a=mb+nc的实数m,n.(3)M,N的坐标及向量的坐标.【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以解得(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M的坐标为(0,20).又=-=-2b,所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N的坐标为(9,2).故=(9-0,2-20)=(9,-18).5.(13分)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.【解析】(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).点M在第二或第三象限⇔解得t20且t1+2t2≠0.故所求的充要条件为t20且t1+2t2≠0.(2)当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,所以A,B,M三点共线.