九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 24.1.2 垂直于弦的直径

第二十四章圆24.1圆的有关性质第二十四章圆24.1.1圆24.1.2垂直于弦的直径考场对接题型一圆周角定理及其推论的应用考场对接B例题1如图24-1-47,在⊙O中,AC∥OB,∠BAO=25°.则∠BOC的度数为().A．25°B．50°C．60°D．80°分析∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°.∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.锦囊妙计圆心角和圆周角的转化求圆心角的度数可以转化为求同弧所对的圆周角的度数,反之,求圆周角的度数也可以转化为求同弧所对的圆心角的度数.例题2如图24-1-48,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AC=AB.求证：BD=CD.证明如图24-1-48,连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.又AC=AB,∴BD=CD.锦囊妙计连弦构造直角三角形在圆中,遇到直径时,可以构造直径所对的圆周角,遇到90°的圆周角时,可以作出直径,进而得到直角三角形,再利用直角三角形的性质解题.题型二运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行证明例题3如图24-1-49,在⊙O中,AB,AC为弦,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：BE=CF.证明如图24-1-49,连接AD,BD,CD.∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△BED和Rt△CFD中,BD=CD,DE=DF,∴Rt△BED≌Rt△CFD,∴BE=CF.锦囊妙计证明圆中两条线段相等的途径(1)利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行证明；(2)利用全等三角形进行证明；(3)利用等腰三角形的性质进行证明.例题4如图24-1-50,在⊙O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在⊙O上.(1)求证：AM=BN；(2)若C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=NB成立吗？请说明理由.解证明：如图24-1-50,连接OM,ON.∵AC=BD,AO=BO,∴OC=OD.在Rt△OCM和Rt△ODN中,OM=ON,OC=OD,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,∴∠AOM=∠BON,∴AM=BN.(2)AM=MN=NB成立.理由：如图24-1-50,连接AM,BN.∵C,D分别为OA,OB的中点,且MC⊥AB,ND⊥AB,∴AM=OM,ON=BN.又OM=OA=ON=OB,∴△AOM和△BON都是等边三角形,∴∠AOM=∠BON=60°,∴∠AOM=∠BON=∠MON=60°,∴AM=MN=NB.锦囊妙计证弧、弦、圆心角关系常用的作辅助线的方法在同圆或等圆中,要证明弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等,通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等,一般有多种证法,而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法．题型三垂径定理与圆心角、圆周角定理的综合应用例题5如图24-1-51,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为().D分析∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,∴AC=AB=4.设⊙O的半径为r,则OC=r-2.在Rt△AOC中,∵AC=4,OC=r-2,OA2=AC2+OC2,∴r2=42+(r-2)2,解得r=5,∴AE=2r=10.如图24-1-51,连接BE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°.在Rt△ABE中,∵AE=10,AB=8,∴BE===6.在Rt△BCE中,∵BE=6,BC=4,∴EC===2.𝐀𝐄𝟐−𝐀𝐁𝟐𝟏𝟎𝟐−𝟖𝟐𝐁𝐄𝟐+𝐁𝐂𝟐𝟔𝟐+𝟒𝟐𝟏𝟑锦囊妙计解决与圆有关的计算问题，可先利用垂径定理和勾股定理求圆的半径，再构造直角三角形求线段的长.题型四圆内接四边形的性质的应用例题6如图24-1-52,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD=________°.130分析四边形ABCD是⊙O∠C的度∠BOD的度数.∵∠A=115°,∴∠C=180°-∠A=65°,∴∠BOD=2∠C=130°.锦囊妙计圆内接四边形中角的“三种关系”(1)对角互补,即若四边形ABCD为⊙O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°；(2)四个角的和是360°,即若四边形ABCD为⊙O的内接四边形,则∠A+∠B+∠C+∠D=360°；(3)圆内接四边形的外角等于其内对角.谢谢观看！