2021高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第八单元考点一考点二核心素养专项提升1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测23411.简单的逻辑联结词(1)命题中的叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q,p∨q,p的真假判断pqp∧qp∨q¬p真真假真假假真真假假“且”“或”“非”真真假真假真假假第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测23412.全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∀∃第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测23413.全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23414.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题“46或32”是真命题.()(3)若p∧q为真,则p∨q必为真;反之,若p∨q为真,则p∧q必为真.()(4)“梯形的对角线相等”是特称命题.()(5)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.()6×√×××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-7-知识梳理双基自测2341562.(2019辽宁葫芦岛高三二模)设命题p:∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1,则p为()A.∀x∈(0,+∞),lnxx-1B.∃x0∈(0,+∞),lnx0≤x0-1C.∀x∉(0,+∞),lnxx-1D.∃x0∈(0,+∞),lnx0x0-1答案解析解析关闭根据全称命题的否定是特称命题,可知􀱑p为∃x0∈(0,+∞),lnx0x0-1.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234153.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-16A第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测2341564.已知命题p:对任意x∈R,总有2x0;命题q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)答案解析解析关闭由题意可知命题p为真命题,q为假命题,故􀱑p为假命题,􀱑q为真命题.从而p∧q为假,(􀱑p)∧(􀱑q)为假,(􀱑p)∧q为假,p∧(􀱑q)为真.故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测2341565.(2019湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x0∈R,+2mx0+m+20”为假命题,则m的取值范围是()A.(-∞,-1)∪[2,+∞)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.[-1,2]D.(-1,2)𝑥02答案解析解析关闭由题意,可知命题的否定“∀x∈R,x2+2mx+m+2≥0”为真命题,所以Δ=4m2-4(m+2)≤0,解得-1≤m≤2.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234156.命题“所有末位数字是0的整数,都可以被5整除”的否定为.6有些末位数字是0的整数,不可以被5整除第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点4考点1含简单逻辑联结词的命题的真假例1(1)(2017山东潍坊二模)已知命题p∧q是假命题,p∨q是真命题,则下列命题一定是真命题的是()A.qB.(p)∧(q)C.pD.(p)∨(q)(2)已知命题p:∀x0,ln(x+1)0;命题q:若ab,则a2b2,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q思考如何判断含简单逻辑联结词的命题的真假?答案解析解析关闭(1)命题p∧q是假命题,p∨q是真命题,则p与q中有且仅有一个命题为真命题.所以􀱑p与􀱑q中有且仅有一个命题为真命题,即一定是真命题的是(􀱑p)∨(􀱑q).故选D.(2)对∀x0,都有x+11,所以ln(x+1)0,故p为真命题.因1-2,但12(-2)2,故q为假命题,所以􀱑q为真命题,故p∧􀱑q为真命题.故选B.答案解析关闭(1)D(2)B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3考点4解题心得要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,首先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,然后依据“p∨q见真即真”“p∧q见假即假”“p与¬p真假相反”做出判断.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1(2019湖北荆州调研)已知命题p:关于x的方程x2-2ax-1=0有两个不相等的实数根;命题q:函数f(x)=x+的最小值为4.给出下列命题:①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨(q),则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.44𝑥答案解析解析关闭因为Δ=4a2+40,所以关于x的方程x2-2ax-1=0有两个不相等的实数根,故命题p是真命题.当x0时,f(x)=x+4𝑥的值为负值,故命题q为假命题.所以p∨q,p∧(q),(p)∨(q)是真命题.故选C.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3考点4考点2全(特)称命题的真假判定例2下列命题中,为真命题的是()B.任意x∈(0,π),sinxcosxC.任意x∈(0,+∞),x2+1xD.存在x0∈R,+x0=-1思考如何判断一个全称命题是真命题?又如何判断一个特称命题是真命题?A.存在x0∈R,sin2𝑥02+cos2𝑥02=12𝑥02答案解析解析关闭对于A选项,∀x∈R,sin2𝑥2+cos2𝑥2=1,故A为假命题;对于B选项,存在x0=π6,sinx0=12,cosx0=√32,sinx0cosx0,故B为假命题;对于C选项,x2+1-x=𝑥-122+340恒成立,C为真命题;对于D选项,x2+x+1=𝑥+122+340恒成立,不存在x0∈R,使𝑥02+x0=-1成立,故D为假命题.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x0,使p(x0)成立.2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3考点4对点训练2下列命题中,为真命题的是()A.∀x∈R,x20B.∀x∈R,-1sinx1C.∃x0∈R,0D.∃x0∈R,tanx0=22𝑥0答案解析解析关闭对于A,当n=1时,12,故A错;对于B,当x=1时,(x-1)2=0,故B错;对于C,∀x∈R,x2+x+2=𝑥+122+74≥740,故C错.故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点4考点3含有一个量词的命题的否定例3命题“∀n∈N*,f(n)∈N*,且f(n)≤n”的否定是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*,且f(n)nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*,且f(n0)n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)n0思考如何对全(特)称命题进行否定?答案解析解析关闭命题的否定是特称命题,可知命题“∀n∈N*,f(n)∈N*,且f(n)≤n”的否定是“∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)n0”.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.对全(特)称命题进行否定的方法是改量词,否结论.没有量词的要结合命题的含义加上量词.2.常见词语的否定形式:词语是都是=()至少有一个至多有一个且词语的否定不是不都是≠≤(≥)一个也没有至少有两个或第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)命题“∃x∈∁RQ,x3∈Q”的否定是()A.∃x∉∁RQ,x3∈QB.∃x∈∁RQ,x3∉QC.∀x∉∁RQ,x3∈QD.∀x∈∁RQ,x3∉Q(2)已知命题p:∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则()A.p是假命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)0C.p是真命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)0答案解析解析关闭(1)“∃x∈∁RQ”改为“∀x∈∁RQ”,“x3∈Q”的否定为“x3∉Q”.(2)因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题p是假命题;又􀱑p:∀x∈R,log2(3x+1)0,故选B.答案解析关闭(1)D(2)B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3考点4考点4由命题的真假求参数的取值范围例4(1)已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+10,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2(2)若把(1)中条件“若p∨q为假命题”改为“若p∧q为真命题”,则实数m的取值范围为.(3)若把(1)中条件“若p∨q为假命题”改为“若p∧q为假命题,p∨q为真命题”,则实数m的取值范围为.思考如何依据命题的真假求参数的取值范围?A(-2,0)(-∞,-2]∪[0,2)第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+10恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,有Δ=m2-40,解得-2m2.因此由p,q均为假命题得𝑚≥0,𝑚≤-2或𝑚≥2,即m≥2.(2)由(1)知当p是真命题时,有m0;当q是真命题时,有-2m2.因为p∧q为真,所以p为真命题,q也为真命题.所以𝑚0,-2𝑚2,即-2m0.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3考点4(3)因为p∧q为假,p∨q为真,所以p,q必一真一假.当p真q假时,有𝑚0,𝑚≥2或𝑚≤-2,故m≤-2.当p假q真时,有𝑚≥0,-2𝑚2,故0≤m2.故m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3考点4解题心得以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据命题“p∨q”“p∧q”“p”的真假,判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)若命题“∃x0∈R,+(a-1)x0+10”是真命题,则实数a的取值范围是()A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)(2)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥ex;命题