（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 2.3 一 导数与函数的单调性、极值

专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练2.3导数在函数中的应用专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练一导数与函数的单调性、极值、最值专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三利用导数讨论函数的单调性【例1】(1)已知函数f(x)=ax,其中a0,且a≠1.求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间;(2)已知函数f(x)=+lnx(其中a0,e≈2.7).若函数f(x)在区间[2,+∞)内为增函数,求实数a的取值范围.分析推理(1)(2)两题都是函数单调性问题,(1)题求函数的单调区间,只需求出函数的导函数,然后根据参数对导函数符号的影响进行分类讨论即可;(2)题属于已知函数的单调性求函数解析式中的参数取值,首先利用导函数的保号性刻画单调性,即转化为一个含参不等式恒成立,进而分离参数,转化为函数的最值问题求解.1-𝑥𝑎𝑥专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三解:(1)由已知,h(x)=ax-xlna,有h'(x)=(ax-1)lna.令h'(x)=0,解得x=0.①若0a1,则lna0.当x∈(-∞,0)时,axa0=1,即ax-10,所以h'(x)=(ax-1)lna0,函数h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,axa0=1,即ax-10,所以h'(x)=(ax-1)lna0,函数h(x)单调递增.②若a1,则lna0.当x∈(-∞,0)时,axa0=1,即ax-10,所以h'(x)=(ax-1)lna0,函数h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,axa0=1,即ax-10,所以h'(x)=(ax-1)lna0,函数h(x)单调递增.综上,函数h(x)的单调递增区间为(0,+∞),递减区间为(-∞,0).专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三(2)∵f(x)=1-𝑥𝑎𝑥+lnx,∴f'(x)=𝑎𝑥-1𝑎𝑥2(a0).∵函数f(x)在区间[2,+∞)内为增函数,∴f'(x)≥0对任意x∈[2,+∞)恒成立.∴ax-1≥0对任意x∈[2,+∞)恒成立,即a≥1𝑥对任意x∈[2,+∞)恒成立.∵当x∈[2,+∞)时,1𝑥max=12,∴a≥12,即所求正实数a的取值范围是12,+∞.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三该题中的(1),若p(x)=f(x)-txlna呢?解:p(x)=ax-txlna.p'(x)=axlna-tlna=(ax-t)lna.①当t≤0时,则ax-t0.若0a1,则lna0,p'(x)0恒成立,函数p(x)单调递减;若a1,则lna0,p'(x)0恒成立,函数p(x)单调递增.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三②当t0时,由ax-t=0,解得x=logat.若0a1,则lna0,当x∈(-∞,logat)时,ax-t0,p'(x)0恒成立,函数p(x)单调递减;当x∈(logat,+∞)时,ax-t0,p'(x)0恒成立,函数p(x)单调递增.若a1,则lna0,当x∈(-∞,logat)时,ax-t0,p'(x)0恒成立,函数p(x)单调递减;当x∈(logat,+∞)时,ax-t0,p'(x)0恒成立,函数p(x)单调递增.综上,当t≤0时,若0a1,则函数p(x)在R上单调递减;若a1,则函数p(x)在R上单调递增.当t0时,函数p(x)的单调递减区间为(-∞,logat);单调递增区间为(logat,+∞).专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三规律方法利用导数研究函数的单调性,包括两种类型:(1)求可导函数的单调区间,抓住一个核心——导函数的符号.①实质就是在函数定义域内解f'(x)0(f'(x)0),从而确定函数f(x)的单调增(减)区间.②含参函数单调性的分析,需要根据参数所在位置以及其取值范围分类讨论导函数符号的变化.(2)由函数f(x)在区间(a,b)内的单调性求参——导函数的保号性.①准确转化:即利用函数单调性与导函数符号之间的关系,将已知转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立问题,要注意“=”是否可以取到.②求解含参不等式的恒成立问题,一般可利用分离参数,转化为函数在指定区间上的最值问题解决.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三即时巩固1已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)lnx,其中a2.(1)讨论函数f(x)的单调性.12(2)若对于任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,恒有𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2-1,求a的取值范围.解:(1)由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),∵f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx,∴f'(x)=x-a+𝑎-1𝑥=(𝑥-1)[𝑥-(𝑎-1)]𝑥,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.∵a2,∴a-11.由f'(x)0,解得0x1或xa-1,由f'(x)0,解得1xa-1,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(a-1,+∞),单调递减区间为(1,a-1).专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三(2)设x1x2,则不等式𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2-1等价于f(x1)-f(x2)x2-x1,即f(x1)+x1f(x2)+x2.令g(x)=f(x)+x=12x2-(a-1)x+(a-1)lnx,则函数g(x)在x∈(0,+∞)内为增函数.∴g'(x)=x-(a-1)+𝑎-1𝑥≥0在(0,+∞)内恒成立,而x+𝑎-1𝑥≥2𝑎-1,当且仅当x=𝑎-1𝑥,即x=𝑎-1时等号成立.∴2𝑎-1≥a-1.∵a2,∴𝑎-1≤2,解得2a≤5,∴实数a的取值范围是(2,5].专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三利用导数研究函数的极值和最值【例2】(1)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.(2)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.①若a=0,证明:当-1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0.②若x=0是f(x)的极大值点,求a.分析推理(1)该题中的函数是三角函数形式,因为不能化为一角一函数的形式,所以无法利用三角函数的性质求解最值,可借助导函数研究函数的单调性,进而求得最值.(2)该题中的①问,由f(0)=0可知,该不等式的证明其实质就是证明函数在两个区间上的单调性,故只需研究导函数的符号变化即可;②问首先利用0是函数的极值点,即为导函数的一个零点,列出方程,求出a值,但还需要判断“极大值点”,避免增解.-332专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三解析:(1)f'(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).∵cosx+1≥0,∴当cosx12时,f'(x)≤0,且不恒为0,f(x)单调递减;当cosx12时,f'(x)0,f(x)单调递增.∴当cosx=12时,f(x)有最小值.又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),∴当sinx=-32时,f(x)有最小值,即f(x)min=2×-32×1+12=-332.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三(2)①证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-𝑥1+𝑥.设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-𝑥1+𝑥,则g'(x)=𝑥(1+𝑥)2.当-1x0时,g'(x)0;当x0时,g'(x)0,故当x-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增.又f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三②解:(ⅰ)若a≥0,由①知,当x0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ⅱ)若a0,设函数h(x)=𝑓(𝑥)2+𝑥+𝑎𝑥2=ln(1+x)-2𝑥2+𝑥+𝑎𝑥2.由于当|x|min1,1|𝑎|时,2+x+ax20,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=11+𝑥−2(2+𝑥+𝑎𝑥2)-2𝑥(1+2𝑎𝑥)(2+𝑥+𝑎𝑥2)2=𝑥2(𝑎2𝑥2+4𝑎𝑥+6𝑎+1)(𝑥+1)(𝑎𝑥2+𝑥+2)2.若6a+10,则当0x-6𝑎+14𝑎,且|x|min1,1|𝑎|时,h'(x)0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+10,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故当x∈(x1,0),专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三且|x|min1,1|𝑎|时,h'(x)0,所以x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1=0,则h'(x)=𝑥3(𝑥-24)(𝑥+1)(𝑥2-6𝑥-12)2.则当x∈(-1,0)时,h'(x)0;当x∈(0,1)时,h'(x)0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-16.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三规律方法1.利用导数研究函数的极值、最值的基本思路:(1)求极值,抓住一个关键:函数单调性在极值点两侧的单调性相反,外在表示形式是导函数符号的变化;(2)求最值,本质就是指定区间内函数的极值与区间端点值中的最值.2.已知极值求参数要把握两点:一是函数的极值点一定是其导函数的零点;二是导函数的零点不一定是函数的极值点,需要检验导函数符号是否发生变化.专题二2.3一导数与函数的单调性、极值、最值高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三即时巩固2(2019河北武邑中学二调)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b为常数,且a≠0)在x=1处取得极值.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为1,求a的值.解:(1)因为f(x)=lnx+ax2+bx,所以f'(x)=1𝑥+2ax+b.因为函