（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第一单元 数与式 第2讲 整式

第2讲整式运算及因式分解考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点一代数式1.概念用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母是(填“是”或“不是”)代数式.注意:代数式中不含等号、不等号.2.列代数式把问题中与数量有关的词语,用含有字母、数字和运算符号的式子表示出来.3.代数式求值用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫做代数式的值.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三4.整式的相关概念(1)单项式:用数或字母的积表示的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.(2)多项式:几个单项式的和叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.(3)整式:单项式和多项式统称为整式.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点二整式的运算(高频)1.整式的加减(1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项,常数项是(填“是”或“不是”)同类项.(2)合并同类项法则:几个同类项相加,把它们的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的次数都不变.(3)去括号法则:a+(b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b+c.(口诀:“+”不变,“-”变)(4)整式加减运算可归纳为:先去括号,再合并同类项.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三2.幂的运算(m,n,p为正整数)同底数幂相乘am·an=am+n同底数幂相除am÷an=am-n幂的乘方(𝑎𝑚)𝑛=amn积的乘方(ab)n=anbn商的乘方abn=anbn负整数指数幂a-p=1ap=1ap考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三3.整式乘法运算单项式乘单项式把系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式m(a+b)=ma+mb多项式乘多项式(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)=ma+mb+na+nb乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三4.整式除法运算单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式,如4x2y÷2x=(4÷2)x2-1y=2xy.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点三因式分解(高频)1.概念把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解.注意:(1)因式分解的结果一定要分解到每个因式不能再分解为止;(2)能提取公因式的一定要提取公因式,特别是数字因式时不能忽略;(3)结果一定是积的形式.2.方法(1)提公因式法①ma+mb=m(a+b).②公因式的确定.系数:取各项系数的最大公约数;字母:取各项相同的字母;指数:取各相同字母的最低次幂.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三(2)公式法3.一般步骤一提:如果多项式各项有公因式,应先提取公因式.二套:如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式.当多项式为两项时,考虑用平方差公式,当多项式为三项时,考虑用完全平方公式.三检查:检查因式分解是否彻底,是不是分解到每一个多项式都不能再分解为止.a2-b2(a+b)(a-b);a2±2ab+b2(a±b)2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点1代数式1.(2014·安徽,7,4分)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为(B)A.-6B.6C.-2或6D.-2或30解析∵x2-2x-3=0,∴2×(x2-2x-3)=0,即2×(x2-2x)-6=0.∴2x2-4x=6.故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点32.(2012·安徽,5,4分)某企业今年3月份的产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是(B)A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元解析根据4月份比3月份减少10%,可得4月份的产值是a(1-10%)万元,5月份比4月份增加15%,可得5月份的产值是a(1-10%)(1+15%)万元,故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点2整式运算3.(2018·安徽,3,4分)下列运算正确的是(D)A.(a2)3=a5B.a2·a4=a8C.a6÷a3=a2D.(ab)3=a3b3解析:∵(a2)3=a6,∴A不符合题意;∵a2·a4=a6,∴选项B不符合题意;∵a6÷a3=a3,∴C不符合题意;∵(ab)3=a3b3,∴D符合题意.故选D.4.(2017·安徽,2,4分)计算(-a3)2的结果是(A)A.a6B.-a6C.-a5D.a5考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点35.(2016·安徽,2,4分)计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)A.a5B.a-5C.a8D.a-86.(2014·安徽,2,4分)x2·x3=(A)A.x5B.x6C.x8D.x9解析根据同底数幂相除的性质,当a≠0时,a10÷a2=1010-2=a8,故选C.解析x2·x3=x2+3=x5.故选A.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点37.(2013·安徽,4,4分)下列运算正确的是(B)A.2x+3y=5xyB.5m2·m3=5m5C.(a-b)2=a2-b2D.m2·m3=m68.(2012·安徽,3,4分)计算的结果是(B)A.-2x5B.-8x6C.-2x6D.-8x5(-2𝑥2)3解析A.2x+3y无法计算,故此选项错误;B.5m2·m3=5m5,故此选项正确;C.(a-b)2=a2-2ab+b2,故此选项错误;D.m2·m3=m5,故此选项错误.解析=(-2)3(x2)3=-8x6,故选B.(-2𝑥2)39.(2012·安徽,15,8分)计算:(a+3)(a-1)+a(a-2).解:原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3因式分解10.(2018·安徽,5,4分)下列分解因式正确的是(C)A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)11.(2017·安徽,12,5分)因式分解:a2b-4ab+4b=b(a-2)2.13.(2012·安徽,4,4分)下面的多项式中,能因式分解的是(D)A.m2+nB.m2-m+1C.m2-nD.m2-2m+112.(2014·安徽,4,4分)下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点314.(2016·安徽,12,5分)因式分解:a3-a=a(a+1)·(a-1).解析a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).15.(2013·安徽,12,5分)因式分解:x2y-y=y(x+1)(x-1).解析x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法1列代数式例1(2016·海南)某企业去年的年产值为a万元,今年比去年增长10%,则今年的年产值是万元.答案1.1a解析去年的年产值为a万元,今年比去年增长10%,所以今年的年产值是a(1+10%)=1.1a(万元).方法总结在增长率问题中,若增长率用x表示,则在a的基础上一次增长后可用a(1+x)表示,而连续两次增长后可用代数式a(1+x)2;若降低的百分率为x,则在a的基础上连续两次降低后得到的结果可用代数式a(1-x)2表示.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5对应练1(2017·山西)某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为1.08a元.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5对应练2(2018·湖北随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10…)和“正方形数”(如1,4,9,16…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为(C)A.33B.301C.386D.571三角形数正方形数考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5解析:“三角形数”图形中,第1个图形有1个点,第2个图形有1+2=3个点,第3个图形有1+2+3=6个点,第4个图形有1+2+3+4=10个点,……第a个图形有1+2+3+…+a=𝑎(𝑎+1)2个点.“正方形数”图形中,第1个图形有1个点,第2个图形有22=4个点,第3个图形有32=9个点,第4个图形有42=16个点,……第b个图形有b2个点.由𝑎(𝑎+1)2200,尝试代入a=20,得20(20+1)2=210200,不合题意,于是最大的“三角形数”m=19(19+1)2=190.由b2200,可知b的最大整数值为14,于是最大的“正方形数”n=142=196,则m+n的值为190+196=386.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法2求代数式的值例2(2017·四川内江)若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x-2017=.答案:-2020解析:由x2-2x-1=0,得x2=2x+1,把x2=2x+1代入2x3-7x2+4x-2017,得2x3-7x2+4x-2017=2x(2x+1)-7(2x+1)+4x-2017=4x2+2x-14x-7+4x-2017=4(2x+1)-8x-2024=-2020.方法总结求代数式的值的问题,我们可以把代数式中的字母的值直接代入求解,通常的做法是如果代数式能分解因式,那么分解因式后进行化简,然后求值.也可以把要求的代数式进行变形,整体代入求解.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5对应练3(2018·重庆A卷)按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是(C)A.x=3,y=3B.x=-4,y=-2C.x=2,y=4D.x=4,y=2解析:当x=3,y=3时,输出的值为15;当x=-4,y=-2时,输出的值为20;当x=2,y=4时,输出的值为12;当x=4,y=2时,输出的值为20,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5对应练4(2017·江苏南通)已知当x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则当x=-m时,该多项式的值为3.对应练5(2018·湖南长沙)先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中a=2,b=____.-12解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1,则(m+1)2+n2=0,所以m+1=0,n=0.所以m=-1,n=0.所以当x=-m=1时