（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第四单元 图形初步与三角形 第

第19讲解直角三角形及其应用考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点一锐角三角函数1.三角函数的概念锐角三角函数的定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,正弦sinA=𝑎𝑐;余弦cosA=bc;正切tanA=ab.互余两角的三角函数关系:sin(90°-A)=cosA;cos(90°-A)=sinA.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三2.特殊角的三角函数值角度三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点二解直角三角形的一般类型已知条件图形解法一直角边和一锐角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=a𝑠𝑖𝑛A,b=a𝑡𝑎𝑛A(或b=c2-a2)已知斜边和一个锐角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=c2-a2)已知两直角边(a,b)c=a2+b2,由tanA=ab求∠A,∠B=90°-∠A已知斜边和一条直角边(c,a)b=c2-a2,由sinA=ac求∠A,∠B=90°-∠A考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点三解直角三角形的实际应用(高频)1.常见概念仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角(如图(1))坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tanα=hl(如图(2))方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,如图(3),A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向,C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三2.解直角三角形的实际应用题的方法解直角三角形的实际应用问题时,要读懂题意,分析背景语言,弄清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题,具体方法如下:(1)紧扣三角函数的定义,寻找边角关系;考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三(2)添加辅助线,构造直角三角形.作高是常用的辅助线添加方法(如图所示).(3)逐个分析相关的直角三角形,利用直角三角形的边角关系求解.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点解直角三角形的实际应用1.(2018·安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断解法一过点F作AB的垂线交AB于点H,交AE于点G,∴FH∥DB,∴∠1=45°,∠2=∠3=45°,∴∠FEG=90°.在Rt△FDE中,sin∠1=𝐹𝐷𝐹𝐸=22,∴FE=2FD.在Rt△FEG中,cos∠GFE=𝐹𝐸𝐹𝐺=22,∴FG=2FE.∴FG=2FD=3.6(米),设AH=x米,则GH=x米,FH=(3.6+x)米,在Rt△AFH中,tan∠AFH=𝐴𝐻𝐹𝐻=𝑥3.6+𝑥=tan39.3°,解得x≈16.4,∴AB=AH+BH=AH+FD≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断解法二由题意得:∠FED=45°,∴∠AEB=∠FED=45°,∴∠FEA=90°.在Rt△FDE中,sin∠FED=𝐹𝐷𝐹𝐸=22,∴FE=2FD.在Rt△FEA中,EF=2FD,AE=2AB.∴tan∠AFE=𝐴𝐸𝐸𝐹=𝐴𝐵𝐹𝐷,∴AB=FD×tan∠AFE=1.8×10.02≈18(米).答:旗杆AB高约为18米.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断2.(2017·安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A-B-D的路线可至山顶D处,假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的长.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.41)2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断解:在Rt△ABC中,∵AB=600m,∠ABC=75°,∴BC=AB·cos75°≈600×0.26≈156(m).2分在Rt△BDF中,∵∠DBF=45°,∴DF=BD·sin45°=600×22≈300×1.41≈423(m).∵四边形BCEF是矩形,4分∴EF=BC=156(m).∴DE=DF+EF=423+156=579(m).8分答:DE的长为579m.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断3.(2016·安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C,D两点间的距离.解如图,过点D作DF⊥AB于点F,则CD=AF.2分设DF=x米,在Rt△ADF中,∵tan30°=DFAF,∴AF=3x,在Rt△DEF中,∵tan60°=DFEF,∴EF=33x,6分∵AE=AF-EF=3x-33x=20,∴x=103,∴CD=AF=30米.答:C,D两点间的距离是30米.10分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断4.(2015·安徽,18,8分)如图,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(≈1.7)3解如图,过点B作BE⊥CD于点E,在Rt△EBC中,∵tan30°=CEBE,CE=AB=12,∴BE=1233=123,4分在Rt△BDE中,∵tan45°=DEBE,∴DE=BE=123,∴CD=CE+DE=12+123≈32.4.因此,楼房CD的高为32.4米.8分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1锐角三角函数例1(2017·湖北宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列选项中,错误的是()A.sinα=cosαB.tanC=2C.sinβ=cosβD.tanα=1答案:C解析:先构建直角三角形再根据三角函数的定义解答,sinα=cosα=222=12,tanC=21=2,sinβ=cos(90°-β).故选C.方法总结求锐角的三角函数,首先要确定在哪个直角三角形中考察,其次要清楚所求的是哪两边之比.常通过“等角代换”,将所求的锐角的三角函数转化到另外的直角三角形中考查.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(2018·贵州贵阳)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为(B)A.12B.1C.33D.3解析:连接BC,则BC⊥AB.在Rt△ABC中,AB=BC=22+12=5,tan∠BAC=𝐵𝐶𝐴𝐵=1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练2(2017·湖南怀化)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是(C)A.35B.34C.45D.43考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练3.(2017·内蒙古包头)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是.解析:在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=CD=2,AD=BC=3,FC=2BF,点E是CD的中点,可知CE=1,BF=1,CF=2,得Rt△ABF≌Rt△FCE,则有∠2=∠3,∵∠1+∠3=90°∴∠1+∠2=90°,∴∠AFE=90°.由勾股定理可得AF=5,EF=5,所以△AEF为等腰直角三角形,∠AEF=45°,即cos∠AEF=cos45°=22.22考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2直角三角形中的边角关系例2(2012·安徽)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.3解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ACD中,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=AC×sinA=23×12=3,AD=AC×cosA=23×32=3,6分在Rt△BCD中,∵∠B=45°,∴BD=CD=3,∴AB=AD+BD=3+3.10分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练4(2018·浙江金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为(B)A.tan𝛼tan𝛽B.sin𝛽sin𝛼C.sin𝛼sin𝛽D.cos𝛽cos𝛼解析:由锐角三角函数的定义,得AB=𝐴𝐶sin𝛼,AD=𝐴𝐶sin𝛽,∴AB与AD的长度之比为sin𝛽sin𝛼,故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练5(2017·山东临沂)在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=4,BD=10,sin∠BDC=,则▱ABCD的面积是24.35解析:根据sin∠BDC=35可以求出△BCD中BD边上的高,从而求出▱ABCD的面积.作CE⊥BD于E,在Rt△CDE中,∵sin∠BDC=35=𝐶𝐸𝐶𝐷=𝐶𝐸𝐴𝐵,AB=4.∴CE=125,S▱ABCD=2×12×BD×CE=24.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破对应练6(2017·上海)如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米,其中D是BC的中点,且AD⊥BC.(1)求sinB的值;(2)现需要加装支架DE,EF,其中点E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足为点F,求支架DE的长.考法1考法2考法3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)在Rt△ABD中,∵BD=DC=9,AD=6,∴AB=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2=92+62=313,∴sinB=𝐴𝐷𝐴𝐵=6313=21313.(2)∵EF∥AD,BE=2AE,∴𝐸𝐹𝐴𝐷=𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐵𝐸𝐵𝐴=23,∴𝐸𝐹6=𝐵𝐹9=23.∴EF=4,BF=6,∴DF=3.在Rt△DEF中,DE=𝐸𝐹2+𝐷𝐹2=42+32=5.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法3解直角三角形的实际应用例3(2014·安徽)如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10km,CD段长为30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).分析过B点作BE⊥l1,交l1于E,CD于F,l2于G.在Rt△ABE中,根据三角函数求得BE,在Rt△BCF中,根据三角函数求得BF,在Rt△DFG中,根据三角函数求得FG,再根据EG=BE+BF+FG即可求解.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解如图,过B点作BE⊥l1,交l1于E,CD于F,l2于G