（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十章 概率统计 20.2 条件概率及相互独立事件、ｎ次独

§20.2条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布高考数学(江苏省专用)统一命题、省(区、市)卷题组考点一条件概率及相互独立事件的概率五年高考1.(2019课标全国Ⅰ理,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.答案0.18解析本题主要考查独立事件概率的求解;考查学生的数据处理能力、推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学建模.由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜,则共比赛了5场,且第5场甲胜,前4场中甲胜3场.第一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P1= ×0.6×0.4×0.52=2× × × = ;第二类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场中甲胜1场,则P2=0.62× ×0.5×0.5= ×2× = ,所以甲队以4∶1获胜的概率为P= ×0.6=0.18.12C35251432512C23514950392550疑难突破采用七场四胜制,由题意分析得若甲队以4∶1获胜,则甲队在第5场比赛中必胜,且前4场比赛中胜3场.2.(2015课标全国Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.648解析该同学通过测试的概率P= ×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648.23C3.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.23解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.满分13分.(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为 ,故X~B ,从而P(X=k)=   ,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为2323,33Ck23k313kX0123P    1272949827随机变量X的数学期望E(X)=3× =2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B ,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)= × + × = .2323,3827294912720243思路分析(1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即 或 从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.3,1XY2,0.XY解后反思本题关键是将实际问题转化为数学问题.4.(2019课标全国Ⅱ理,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心素养是数据分析和逻辑推理.(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.思路分析(1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概率公式可求解.解题关键某局打成10∶10平后,每球交换发球权,甲先发球,求出甲得分的概率分别为0.5,0.4,0.5,0.4是解决本题的关键.5.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (3分)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)= = = = .因此所求概率为 . (7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为()()PABPA()()PBPA0.150.55311311X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. (12分)思路分析(1)将本年度保费高于基本保费a对应的所有事件的概率相加即可;(2)利用条件概率公式求解;(3)求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布1.(2018课标全国Ⅲ理改编,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=.答案0.6解析本题考查相互独立事件及二项分布.由题知X~B(10,p),则DX=10×p×(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又∵P(X=4)P(X=6),即 p4(1-p)6 p6(1-p)4⇒(1-p)2p2⇒p0.5,∴p=0.6.410C610C2.(2017课标全国Ⅱ理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案1.96解析本题主要考查二项分布.由题意可知X~B(100,0.02),由二项分布可得DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96.3.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案 32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1- = ,且X~B ,∴均值是2× = .2123432,43432评析判断X服从二项分布是解题的关键.4.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案 13解析因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p= .135.(2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= p2(1-p)18.因此f'(p)= [2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2 p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f'(p)0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX400,故应该对余下的产品作检验.220C220C220C6.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为 , , .(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.121314解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)= × × = ,P(X=1)= × 1-  × 1-  + 1-  × × 1-  + × × = ,P(X=2)= × × + × × + × × = ,P(X=3)= × × = .所以,随机变量X的分布列为1121131141412131412131411211314112411213141211314121311414121314124X0123P    14112414124随机变量X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)= × + × = .所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .14112414124131214112