（湖南专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第08课时 分式方程及其应用课

第8课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图8-1未知数最简公分母3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.0考点二分式方程的实际应用列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同,不同的是要检验两次:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验求出的解是否符合变量的实际意义.题组一必会题对点演练1.[八上P34练习第2(2)改编]解方程13−22𝑥-1=16𝑥-3时,方程两边需同时乘()A.3B.2x-1C.3(2x-1)D.(6x-3)(2x-1)C2.[八上P34练习第1(1)改编]方程52𝑥−1𝑥-3=0的解为()A.5B.-5C.2D.无解A3.[八上P36习题1.5第2题改编]小亮和小青从同一地点出发跑800m,小亮的速度是小青速度的1.25倍,小亮比小青提前40s到达终点,求小青的速度,设小青的速度为xm/s,依题意可得方程.4.[八上P36练习第2题改编]一艘轮船在两个码头之间航行,顺水航行60km所用的时间与逆水航行48km所用的时间相同,已知水流速度为2km/h,则轮船在静水中的航行速度为.18km/h𝟖𝟎𝟎𝒙−𝟖𝟎𝟎𝟏.𝟐𝟓𝒙=405.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解题组二易错题【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;忘记检验根的合理性;混淆增根和无解.D6.若关于x的方程𝑥+2𝑥+3=𝑚𝑥+3无解,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2B[答案]2[解析]方程两边同乘(x-3),得:x-5=-m,x=5-m,若方程产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3.解得m=2.7.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.考向一分式方程的有关概念例1(1)[2018·张家界]若关于x的分式方程𝑚-3𝑥-1=1的解为x=2,则m的值为()A.5B.4C.3D.2[答案](1)B[解析]∵关于x的分式方程𝑚-3𝑥-1=1的解为x=2,∴x=2满足关于x的分式方程𝑚-3𝑥-1=1,∴𝑚-32-1=1,解得m=4.[答案](2)3[解析]方程两边都乘(x-2),得3x-x+2=m+3.∵原方程有增根,∴最简公分母(x-2)=0,解得x=2,当x=2时,m=3.(2)[2019·烟台]若关于x的分式方程3𝑥𝑥-2-1=𝑚+3𝑥-2有增根,则m的值为.(3)若关于x的分式方程𝑥𝑥-3+3𝑎3-𝑥=2a无解,则a的值为.𝟏𝟐或1【方法点析】(1)已知分式方程的根求待定字母的值的步骤:①将根直接代入分式方程中,得到关于待定字母的一元一次方程;②解一元一次方程.(2)利用增根求分式方程中字母的值的步骤:①确定增根;②将原分式方程化成整式方程;③将增根代入整式方程,求出字母的值.|考向精练|1.[2018·株洲]关于x的分式方程2𝑥+3𝑥-𝑎=0的解为x=4,则常数a的值为()A.1B.2C.4D.10D[答案]1[解析]解原分式方程,去分母得:x-2m=2m(x-2),若原分式方程有增根,则x=2,将其代入这个一元一次方程,得2-2m=2m(2-2),解之得m=1.2.[2019·巴中]若关于x的分式方程𝑥𝑥-2+2𝑚2-𝑥=2m有增根,则m的值为.考向二解分式方程例2[2019·自贡]解方程:𝑥𝑥-1−2𝑥=1.解:方程两边乘x(x-1)得x2-2(x-1)=x(x-1),解得x=2.检验:当x=2时,x(x-1)≠0,∴x=2是原分式方程的解,∴原分式方程的解为x=2.|考向精练|1.[2019·海南]分式方程1𝑥+2=1的解是()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2B[答案]a≤4且a≠3[解析]方程两边同时乘(x-1)去分母得(2x-a)+1=3(x-1),∴x=4-a,∵解为非负数,∴x≥0且x≠1,∴a≤4且a≠3.2.[2019·齐齐哈尔]关于x的分式方程2𝑥-𝑎𝑥-1−11-𝑥=3的解为非负数,则a的取值范围为.3.解分式方程:𝑥-2𝑥-1+2=21-𝑥.解:𝑥-2𝑥-1+2=21-𝑥,𝑥-2𝑥-1+2=-2𝑥-1,方程两边同乘(x-1),得x-2+2(x-1)=-2,解得x=23,检验:当x=23时,x-1≠0,所以x=23是原分式方程的解,所以原分式方程的解为x=23.4.[2019·乐山]如图8-2,点A,B在数轴上,它们对应的数分别为-2,𝑥𝑥+1,且点A,B到原点的距离相等.求x的值.图8-2解:根据题意得𝑥𝑥+1=2,去分母,得x=2(x+1),去括号,得x=2x+2,解得x=-2,经检验,x=-2是原方程的解,∴x=-2.考向三分式方程的应用例3[2019·云南]为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动,已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.解:设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/时,则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/时.根据题意得240𝑥−2701.5𝑥=1,解得x=60,经检验,x=60是原分式方程的解.∴1.5x=90.答:甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/时和90千米/时.|考向精练|1.[2018·衡阳]衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为x万千克,根据题意,列方程为()A.30𝑥−361.5𝑥=10B.30𝑥−301.5𝑥=10C.361.5𝑥−30𝑥=10D.30𝑥+361.5𝑥=10A2.[2019·济宁]世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程是()A.500𝑥−50010𝑥=45B.50010𝑥−500𝑥=45C.5000𝑥−500𝑥=45D.500𝑥−5000𝑥=45[解析]由题意知:设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,则5G网络的峰值速率为每秒传输10x兆数据,4G网络传输500兆数据用的时间是500𝑥秒,5G网络传输500兆数据用的时间是50010𝑥秒,5G网络比4G网络快45秒,所以500𝑥−50010𝑥=45.[答案]A3.[2019·达州]端午节前后,张阿姨两次到超市购买同一种粽子.节前,按标价购买,用了96元;节后,按标价的6折购买,用了72元,两次一共购买了27个,这种粽子的标价是多少?解:设粽子的标价是x元/个,则节后价格为0.6x元/个,根据题意得:96𝑥+720.6𝑥=27,方程两边同时乘以0.6x,得57.6+72=16.2x,∴x=8,经检验:x=8是原分式方程的解,且符合题意.答:这种粽子的标价是8元/个.4.[2019·郴州]某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.(1)A,B两种型号的机器每台每小时分别加工多少个零件?(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72个,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76个,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?解:(1)设一台A型号机器每小时加工x个零件,则一台B型机器每小时加工(x-2)个零件,根据题意得80𝑥=60𝑥-2,解得x=8,经检验x=8是原方程的解,且符合题意.x-2=8-2=6.答:每台A型机器每小时加工8个零件,每台B型机器每小时加工6个零件.4.[2019·郴州]某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72个,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76个,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?解:(2)设A型号机器安排y台,则B型号机器安排(10-y)台,依题意,可得72≤8y+6(10-y)≤76,解得6≤y≤8,即y的取值为:6或7或8,所以A,B两种型号的机器可以作如下安排:①A型号机器6台,B型号机器4台;②A型号机器7台,B型号机器3台;③A型号机器8台,B型号机器2台.