2010年全国1卷高考数学(含答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．3．第I卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24RS如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么334RV球n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一、选择题（1）复数ii3223（A）i（B）i（C）i1312（D）i1312（2）记k)80cos(，那么100tan（A）kk21（B）-kk21（C）21kk（D）-21kk（3）若变量yx,满足约束条件.02,0,1yxyxy则yxz2的最大值为（A）4（B）3（C）2（D）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{na中，634987321,10,5aaaaaaaaa则=（A）25（B）7（C）6（D）24（5）533)1()21(xx的展开式中x的系数是（A）-4（B）-2（C）2（D）4（6）某校开设A类选修课3门，B类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A）30种（B）35种（C）42种（D）48种（7）正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（A）32（B）33（C）32（D）36（8）设2135,2ln,2logcba，则（A）cba（B）acb（C）bac（D）abc（9）已知F1、F2为双曲线1:22yxC的左、右焦点，点P在C上，6021PFF，则P到x轴的距离为（A）23（B）26（C）3（D）6（10）已知函数)()(,0.|lg|)(bfafbaxxf且若，则ba2的取值范围是（A）),22(（B）,22（C）),3(（D）,3（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PBPA的最小值为（A）24（B）23（C）224（D）223（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（A）332（B）334（C）32（D）338绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3．第Ⅱ卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）不等式1122xx的解集是。（14）已知a为第三象限的角，532cosa，则)24tan(a。（15）直线1y与曲线axxy2有四个交点，则a的取值范围是。（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且FDBF2，则C的离心率为。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知ABC内角A，B及其对边a，b满足BbAabacotcot，求内角C。（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的主审，则予以录用，否则不予录用。高稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审。（Ⅰ）求设到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥S—ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，1,ADABDCAD，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A—DE—C的大小。（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数.1ln)1()(xxxxf（Ⅰ）若1)(2axxxfx，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：.0)()1(xfx（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线xyC4:2的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设98FBFA，求BDK的内切圆M的方程。（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列}{na中，.1,111nnacaa（Ⅰ）设21,25nnabc，求数列}{nb的通项公式；（Ⅱ）求使不等式31nnaa成立的c的取值范围。参考答案一、选择题（1）A（2）B（3）B（4）A（5）C（6）A（7）D（8）C（9）B（10）C（11）D（12）B二、填空题（13）}20|{xx]（14）71（15）)45,1(（16）33三、解答题：（17）解：由BbAabacotcot及正弦定理得,coscossinsinBABABBAAsincoscossin，从而4cossin4sincos4sincos4cossinBbAA)4sin()4sin(BA又BA0故BA44，2BA所以.2C（18）解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用。则CBAD3.0)(,5.05.05.02)(,25.05.05.0)(CPBPAP)()(CBAPDP)()(CBPAP)()()(CPBPAP3.05.025.0.40.0（Ⅱ）)4.0,4(~BX，其分布列为：1296.0)4.01()0(4XP，3456.0)4.01(4.0)1(314CXP，3456.0)4.01(4.0)2(2224CXP，1536.0)4.01(4.0)3(334CXP，.0256.04.0)4(4XP期望6.14.04EX（19）解法一：（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG=GC=BG=1，即DBC为直角三角形，故BDBC又SD平面ABCD，故BCSD，所以，BC平面BDS，BCDE。作BKEC，K为垂足，因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE。DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。DE平面SBC，DEEC，DESB…………4分622DBSDSB32SBDBSDDE3623622EBSB，SEDEDBEB所以SE=2EB。（Ⅱ）由,2,1,522EBSEABADSDSASAAB知1)32()31(22ABSAAE，又AD=1。故AED为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，则AFDE，3622DFADAF所以，AFG是二面角A—DE—C的平面角。连结AG，36,222DFDGFGAG212cos222FGAFAGFGAFAFG所以，二面角A—DE—C的大小为120°。解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系.xyzD设)0,0,1(A，则)2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(SCB（Ⅰ）)0,1,1(),2,1,0(BCSC设平面SBC的法向量为),,(cban由BCnSCn,得0,0BCnSCn故0,022bacb令)1,1,1(,1.1,1ncba则又设)0(EBSE，则)1211(E)0,2,0(),1211(DCDE设平面CDE的法向量),,(zyxm则DCmDEm,，得0,0DEmDEm故02,01211yzyx令),0,2(,2mx则由平面DEC平面SBC得2,02,0,nmnm故SE=2EB。（Ⅱ）由（Ⅰ）知)32,32,32(E，取DE中点E，则)31,31,32(),31,31,31(FAF故0DEFA，由此得.DEFA又)32,34,32(EC，故0DEEC，由此得DEEC，向量FA与EC的夹角等于二面角A—DE—C的平面角。于是21||||,cosECFAECFAECFA所以，二面角A—DE—C的大小为120°。（20）解：（Ⅰ）,1ln1ln1)(xxxxxxf()1xfxxlnx题设1)(2axxxfx等价于.lnaxx令.11)(,ln)(xxgxxxg则当10x时，0)(xg；当1x时，0)(xg，)(1xgx是的最大值点，.1)1()(gxg综上，a的取值范围是).,1[（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.1)1()(gxg即.01lnxx当10x时，.0)1(lnln1ln)1()(xxxxxxxxf当1x时；)1ln(ln)(xxxxxf)11(lnlnxxxx)111(lnlnxxxx.0所以.0)()1(xfx（21）解：设),(),,(),,(112211yxDyxByxA，l的方程为).0(1mmyx（Ⅰ）将代入1myxxy42并整理得0442myy从而.4,42121yymyy直线BD的方程为)(212122xxxxyyyy即)4(422122yxyyyy令0y，得1421yyx所以点F（1，0）在直线BD上。（Ⅱ）由①知，24)1()1(22121mmymyxx.1)1)(1(2121mymyxx因为),1(),,1(2211yxFByxFA2212121214841)()1)(1(mxxxxyyxxFBFA故98482m解得.34m所以l的方程为.0343,0343yxyx又由①知73444)4(212myy故直线BD的斜率73412yy因而直线BD的方程为0373,0373yxyx因为KF为BKD的平分线，故可设圆心)11)(0,(ttM，ttM到)0,(及BD的距离分别为.4|1|3,5|1|3tt由4|1|3