2020年高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程课件 新人教A版必修

第四章圆与方程4．1圆的方程4．1．2圆的一般方程登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．2．会在不同条件下求圆的一般方程．学习目标‖自主导学‖预习课本P121～P123，思考并完成以下问题．知识点一|圆的一般方程的定义1．当1_________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为4_________________.D2＋E2－4F0D2＋E2－4F22．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.3．当7______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．D2＋E2－4F0[思考探究]………………|辨别正误|1．若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？[提示]x2＋y2＋F＝0.2．若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？[提示]①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF0.知识点二|由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆8____x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0点M在圆9____x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆10____x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＜0外上内‖小试身手‖1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：选D圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为－－42，－62，即(2，－3)．2．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是．解析：若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则2a2－4a＞0，∴a2－2a＞0，∴a＜0或a＞2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一圆的一般方程的辨析【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15，故m的取值范围为－∞，15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.|方法总结|1．若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是．解析：解法一：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1.解法二：要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，需满足(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得a＜1.答案：(－∞，1)2．已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2＋4F＞0，即曲线C是一个圆．设圆心坐标为(x，y)，则由x＝2m，y＝－m消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上．题型二求圆的一般方程【例2】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．[解]解法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，得4D－2E＋F＋20＝0，①D－3E－F－10＝0，②令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③由已知|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程③的两根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④联立①②④解得，D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.解法二(几何法)：由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为C(a，a－1)．又圆C的半径长r＝|CP|＝a－42＋a＋12.①由已知圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|.∴r2＝a2＋4322，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝13，r2＝37.故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.|方法总结|3．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为－D2，－E2.∵圆心在直线2x－y－3＝0上，∴2×－D2－－E2－3＝0.①又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.②32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0.③解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.4．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2.∵圆与x＋3y－26＝0相切，∴6＋E28＋D2·－13＝－1，即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.题型三求动点的轨迹方程考向1直接法求轨迹方程【例3】求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的12的点的轨迹方程．[解]设M(x，y)到O(0,0)的距离是到A(3,0)的距离的12.则|MO||MA|＝12.∴x2＋y2x－32＋y2＝12.化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.考向2代入法求点的轨迹方程【例4】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．[解]设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则x＝x02，y＝y02，∴x0＝2x，y0＝2y.∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0.∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0.即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋214＝0.考向3定义法求动点的轨迹方程【例5】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．[解]解法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.又因为kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．解法二：同解法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．解法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1,0)．由直角三角形的性质，知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.|方法总结|5.已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1,0)为定圆上的一个点，点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程．解：设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为M是动弦AC的中点，所以由中点坐标公式可得x＝x0＋12，y＝y02，即x0＝2x－1，y0＝2y.①因为点C与点A不重合，所以x0≠1，即x≠1.又因为点C(x0，y0)在圆(x＋1)2＋y2＝4上，所以(x0＋1)2＋y20＝4(x0≠1)，②将①代入②，得(2x－1＋1)2＋(2y)2＝4(x≠1)，即x2＋y2＝1(x≠1)．因此，动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠1)．6．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．解：以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．∴2＋x2＝x0，0＋y2＝y0.①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y20＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个注意：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．两种方法：(1)圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．(2)对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．「自测检评」1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A．8πB．4πC．2πD．π解析：选C原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为()A．k≤12B．k＝12C．k≥12D．k＜12解析：选D方程表示圆⇔1＋1－4k0⇔k12.3．已知点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0解析：选B过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线．易得圆的圆心为(4,1)，则所求直线的方程为y－10－1＝x－43－4，即x－y－3＝0.4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A．2B.22C．1D.2解析：选D易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线x－y＝1的距离为|1＋2－1