2020年高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修

第四章圆与方程4．1圆的方程4．1．1圆的标准方程登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．学习目标‖自主导学‖预习课本P118～P120，思考并完成以下问题．知识点一|圆的定义及圆的标准方程1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．2．圆的标准方程‖小试身手‖1．在平面中确定圆的要素是()A．圆心B．半径C．圆心和半径D．以上都不正确答案：C2．圆心是O(－3,4)，半径长是5的圆的方程为．答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝25知识点二|点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在3______；若|CM|r，则点M在4______；若|CM|r，则点M在5______．圆上圆外圆内(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在6________⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在7________⇔(m－a)2＋(n－b)2r2；点M(m，n)在8________⇔(m－a)2＋(n－b)2r2.圆C上圆C外圆C内[思考探究]………………|辨别正误|1．点A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？[提示]|OA|＜2，|OB|＞2，|OC|＝2.2．若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝c2，则此圆的半径一定等于c吗？[提示]不一定，圆的半径应为|c|.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一求圆的标准方程【例1】已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程．[解]解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，有3－a2＋1－b2＝r2，－1－a2＋3－b2＝r2，3a－b－2＝0，即a2＋b2－6a－2b＝r2－10，a2＋b2＋2a－6b＝r2－10，3a－b－2＝0.解得a＝2，b＝4，r2＝10.故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.解法二：直线AB的斜率kAB＝3－1－1－3＝－12，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝3－12＝1，y＝1＋32＝2，因此直线m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.又因为圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心是这两条直线的交点．联立方程，得2x－y＝0，3x－y－2＝0，解得x＝2，y＝4.设圆心为C，所以圆心坐标为(2,4)．又因为半径r＝|CA|＝10，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.解法三：设圆心为C.因为圆心在直线3x－y－2＝0上，所以可设圆心C的坐标为(a,3a－2)．又因为|CA|＝|CB|，所以a－32＋3a－2－12＝a＋12＋3a－2－32，解得a＝2.所以圆心为(2,4)，半径长r＝|CA|＝10.故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.求圆的标准方程的三种常用方法：解法一是待定系数法；解法二、解法三是由平面几何的性质直接求得圆心坐标和半径．其中待定系数法思路直接体现了方程的思想，是通用方法；解法二和解法三对像圆这样的有明确的几何性质的曲线解答较简捷，运算量也不大．在解题过程中，要仔细审题，充分利用圆的性质，如圆上一点到圆心的距离就是半径，圆的任一弦的垂直平分线均过圆心等.|方法总结|1．△ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的标准方程．解：解法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有0－a2＋5－b2＝r2，1－a2＋－2－b2＝r2，－3－a2＋－4－b2＝r2.解此方程组，得a＝－3，b＝1，r2＝25.故所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.解法二：因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为12，32，直线AB的斜率kAB＝－2－51－0＝－7.所以线段AB的垂直平分线的方程是y－32＝17x－12，即x－7y＋10＝0，同理，线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.由x－7y＋10＝0，2x＋y＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1)．又因为圆的半径长r＝－3－02＋1－52＝5，所以所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.题型二点与圆的位置关系的判断【例2】已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[解]由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－52，又a≠0，∴a的取值范围是－52，0∪(0，＋∞).判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆外.|方法总结|2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＜－1或a＞1D．－1＜a＜0解析：选A直接利用点与圆的位置关系来判断．∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4.解得－1＜a＜1.题型三与圆有关的最值问题【例3】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求yx的最大值和最小值．[解]原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－3.【探究1】[变设问]在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．[解]设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.【探究2】[变设问]在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.【探究3】[变条件、变结论]已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．[解]设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.|方法总结|与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一种方法：确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．两种思路：讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．「自测检评」1．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，－3)D．(－1，－3)答案：C2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：选A∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．3．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝.解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m2，∴m＝±2.答案：±24．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝45．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程．解：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)代入上式得2－a2＋2－b2＝r2，5－a2＋3－b2＝r2，3－a2＋－1－b2＝r2，解此方程组，得a＝4，b＝1，r2＝5.所以，△ABC的外接圆方程是(x－4)2＋(y－1)2＝5.