2020-2021学年高中数学 第3章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3

第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题学习目标核心素养1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域，最优解等基本概念．(重点)2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系．(易混点)通过简单线性规划问题的学习，培养直观想象素养．自主预习探新知1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式不等式组可行解满足的解(x，y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得的可行解线性规划问题在条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题线性约束条件可行解最大或最小值线性约束思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？[提示]不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．2．线性目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，它表示斜率为－ab，在y轴上的截距是zb的一条直线，当z变化时，方程表示一组的直线．当b0，截距最大时，z取得值，截距最小时，z取得值；当b0，截距最大时，z取得值，截距最小时，z取得值．互相平行最大最小最小最大思考：若将目标函数z＝x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？[提示]把目标函数整理可得y＝－x＋z，z为直线在y轴上的截距．1．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为．1[根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]0[当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k＝0.]2．已知x，y满足x－y＋5≥0，x≤3，x＋y＋k≥0，且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝．210[如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为12＋12＝2，最长为12＋32＝10.]3．已知点P(x，y)的坐标满足条件x＋y≤4，y≥x，x≥1，点O为坐标原点，那么PO的最小值等于，最大值等于．合作探究释疑难【例1】(1)若变量x，y满足约束条件2x＋y＋3≥0，x－2y＋4≥0，x－2≤0，则z＝x＋13y的最大值是．(2)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，x－3≤0，则z＝x－2y的最小值为．求线性目标函数的最值问题(1)3(2)－5[(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋13y取得最大值，即zmax＝2＋13×3＝3.法二：易知z＝x＋13y在可行域的顶点处取得最大值，由2x＋y＋3＝0，x－2y＋4＝0，解得x＝－2，y＝1，代入z＝x＋13y，可得z＝－53；由2x＋y＋3＝0，x－2＝0，解得x＝2，y＝－7，代入z＝x＋13y，可得z＝－13；由x－2y＋4＝0，x－2＝0，解得x＝2，y＝3，代入z＝x＋13y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝12x－12z，作直线y＝12x并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.]解线性规划问题的一般步骤(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；(4)答：给出正确答案．[跟进训练]1．(1)若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A．4B．235C．6D．315(2)变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()A．－2B．－1C．1D．2(1)B(2)C[(1)不等式组4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．此时x＝1，4x＋5y＝8，∴A1，45，∴zmin＝3×1＋2×45＝235.(2)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2，2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.[探究问题]1．目标函数z＝x2＋y2和z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？[提示]z＝x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到坐标原点的距离的平方；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方．非线性目标函数的最优解问题2．目标函数z＝y－bx－a(x≠a)和z＝ay＋bcx＋d(ac≠0)表示的几何意义是什么？[提示]z＝y－bx－a(x≠a)表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝ay＋bcx＋d＝ac·y－－bax－－dc，表示可行域内的点(x，y)与定点－dc，－ba的连线的斜率的ac倍．3．z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)的几何意义是什么？[提示]z＝|ax＋by＋c|＝a2＋b2·|ax＋by＋c|a2＋b2，表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的a2＋b2倍．【例2】已知x－y＋2≥0x＋y－4≥02x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的范围．思路探究：(1)把z＝x2＋y2－10y＋25化为z＝x2＋(y－5)2，其几何意义是什么？(2)把z＝2y＋1x＋1化为z＝2·y－－12x－（－1），其几何意义是什么？[解]作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝92.(2)z＝2y＋1x＋1＝2·y－－12x－（－1）表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－12)连线的斜率的2倍，因为kQA＝74，kQB＝38，故z的范围为34，72.1．本例中的条件不变求z＝|x＋2y－4|的最大值．[解]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．法一：z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍．由x－y＋2＝0，2x－y－5＝0得点C的坐标为(7，9)，显然点C到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－40，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点C时，目标函数z取得最大值，由x－y＋2＝0，2x－y－5＝0得点C的坐标为(7，9)，此时zmax＝21.2．本例题中的条件不变(1)求z＝x2＋y2的最小值；(2)求z＝yx的范围．[解](1)由z＝x2＋y2的几何意义为区域内的点(x，y)至(0，0)的距离的平方知，z的最小值为(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离的平方．∴zmin＝422＝8.(2)由z＝yx的几何意义为区域内的点(x，y)与原点连线的斜率．因为A(1，3)，B(3，1)，kOA＝3.kOB＝13，∴z的取值范围是13，3.1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．2．非线性目标函数的最值的求解策略(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．(2)z＝y－bx－a型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍．【例3】已知约束条件x－3y＋4≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，且目标函数z＝a2x＋(a－2－a2)y取得最小值的最优解唯一，为(2，2)，则a的取值范围是．思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到a－2－a2的判别式非正，且a2≥0，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定．已知目标函数的最值求参数－1－174，－1＋174[线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示．由于目标函数的y的系数a－2－a2＝－(a－12)2－740，x的系数a2≥0，故平行直线系z＝a2x＋(a－2－a2)y的斜率非负，为a2a2－a＋2.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A(2，2)，从而只需a2a2－a＋213，解得－1－174a－1＋174，此即所求的a的取值范围．]根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合法，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．[跟进训练]2．若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A.2B．－2C．12D．－12D[若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意；若k0，画出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线z＝y－x，即y＝x＋z，在点A－2k，0处取得最小值，所以0－－2k＝－4，解得k＝－12.]课堂小结提素养1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．1．判断正误(1)可行域是