2019秋高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法 第2课时 分析法课件 新人教A版

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第2课时分析法[学习目标]1.了解直接证明的基本方法——分析法，理解分析法的思考过程，特点(重点).2.会用分析法证明一些数学问题(重点、难点)．1．分析法的定义一般地，从要证明的结论出发，逐步寻找使之成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．2．分析法思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法是执果索因，寻求结论成立的充分条件．()(2)所有证明的数学问题都可以用分析法证明．()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．()解析：由分析法与综合法的含义，知(1)，(3)正确．有些数学问题不能用分析法证明，(2)错．答案：(1)√(2)×(3)√2．要证明3＋725，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明3＋725，只需证(3＋7)2(25)2，即10＋22120，只需证22110，两边平方，得84100，此不等式恒成立，故3＋725成立，由证明过程可知分析法最合理．答案：B3．使不等式1a＜1b成立的一个充分条件是()A．a＞bB．a＜bC．a＞b且ab＜0D．a＞b且ab＞0解析：当a＞b，且ab＞0时，有a×1ab＞b×1ab，即1b＞1a.答案：D4．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：(a－b)2≥0(a－b)2≥05．如果aabb，则实数a，b应满足的条件是________．解析：要使aabb成立，只需(aa)2(bb)2，只需a3b30，即a，b满足ab0.答案：ab0类型1利用分析法证明不等式[典例1]已知a5，求证：a－5－a－3a－2－a.证明：要证a－5－a－3a－2－a，只需证a－5＋aa－3＋a－2，只需证(a－5＋a)2(a－3＋a－2)2，只需证2a－5＋2a2－5a2a－5＋2a2－5a＋6，只需证a2－5aa2－5a＋6，只需证a2－5aa2－5a＋6，只需证06.因为06恒成立，所以a－5－a－3a－2－a成立．归纳升华用分析法证明不等式时的注意事项1．用分析法证明不等式时，应从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．2．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．[变式训练]已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.因为a0，只需证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋1a2＋22a＋1a＋4，只需证2a2＋1a2≥2a＋1a，只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．类型2分析法在几何、代数证明中的应用[典例2]如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A作SB的垂线，垂足为E，过点E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC，而AE⊥SB，故只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，故只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA.由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立，所以AF⊥SC成立．归纳升华1．本例中所给条件，垂直关系较多，不易确定如何在证明中运用这些条件，因此从结论出发，逐步反推，寻求使结论成立的充分条件．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考、思路自然便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、易表述出错，应用分析法解题时，语言、步骤要完整、规范，避免语言及逻辑性混乱，减少失分．[变式训练]已知非零向量a⊥b，求证：|a|＋|b||a－b|≤2.证明：因为a⊥b，所以a·b＝0.要证|a|＋|b||a－b|≤2成立，只需证|a|＋|b|≤2|a－b|，两边平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0成立，也就是证明(|a|－|b|)2≥0显然上式成立，故原不等式|a|＋|b||a－b|≤2成立．类型3综合法与分析法的综合应用[典例3]已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.证明：要证logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需证logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)．由已知0x1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0，又因为a，b，c是不全相等的正数，所以a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．所以logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．[变式训练]设a，b，c为任意三角形的三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证明：3S≤I24S.证明：因为I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，所以I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S.于是，要证3S≤I24S，即证3S≤a2＋b2＋c2＋2S4S，即证S≤a2＋b2＋c22S.(1)要证S≤a2＋b2＋c2，即证a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0，即证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(a2＋c2－2ca)≥0，即证(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0.因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，所以S≤a2＋b2＋c2成立．(2)要证a2＋b2＋c22S，即证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ac0，即证(a2－ab－ac)＋(b2－ab－bc)＋(c2－ac－bc)0，即证a[a－(b＋c)]＋b[b－(a＋c)]＋c[c－(a＋b)]0.因为a，b，c为任意三角形的三边长，所以a0，b0，c0，且a＋bc，a＋cb，b＋ca，所以a[a－(b＋c)]0，b[b－(a＋c)]0，c[c－(a＋b)]0，所以a[a－(b＋c)]＋b[b－(a＋c)]＋c[c－(a＋b)]0，所以a2＋b2＋c22S成立．综合(1)(2)可知，S≤a2＋b2＋c22S成立，于是3S≤I24S成立．1．分析法的基本思路是“执果索因”，由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到一个明显成立的条件．若用B表示要证明的结论，则分析法可用下面的框图表示：B⇐A1→A1⇐A2→A2⇐A3→…→得到一个明显成立的条件2．综合法与分析法的区别与联系：(1)综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，每步寻找的是必要条件，分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．(2)综合法与分析法的书写过程恰恰相反，但对于一个复杂的命题，常用分析法寻找解题思路用综合法表达，有时综合法与分析法合用，称为“分析综合法”，或称“两头挤法”，分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系．