2019秋高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课件 新人教A版选修4-5

第二讲证明不等式的基本方法2．1比较法[学习目标]1.理解用比较法证明不等式的一般方法与步骤(重点)．2.了解比较法分为作差比较法、作商比较法．3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．1．作差比较法要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号：a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.2．作商比较法(1)理论依据：当b＞0时，a＞b⇔ab＞1；a＜b⇔ab＜1；a＝b⇔ab＝1.(2)定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明ab＞1，这种方法称为作商比较法．温馨提示使用作商比较法证明不等式a＞b时，一定要注意b＞0这个前提条件．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.()(2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.()(3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.()(4)当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b.()解析：对于(1)，当b＞0时，a＞b，两边同除以b，所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当b＞0时，a＜b，两边同除以b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当a＞0，b＞0时，ab＞1，两边同乘以b，所以a＞b，所以(3)正确；对于(4)，当a＞0，b＞0时成立，当a＜0，b＜0时，不成立．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．设a≠b，则a2＋3b2和2b(a＋b)的大小关系是()A．a2＋3b2＞2b(a＋b)B．a2＋3b2≥2b(a＋b)C．a2＋3b2＜2b(a＋b)D．a2＋3b2≤2b(a＋b)解析：(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，因为a≠b，所以(a－b)2＞0，所以a2＋3b2＞2b(a＋b)．答案：A3．已知P＝1a2＋a＋1，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是()A．P0B．PQC．P≥QD．P≤Q解析：P＝1a2＋a＋1＝1a＋122＋340，Q＝a2－a＋1＝a－122＋340，QP＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1.故Q≥P.当且仅当a＝0时取等号．答案：D4.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则()A．ω＞uB．ω＜uC．ω≥uD．无法确定解析：因为ω－u＝x2－xy＋y2＝x－y22＋3y24≥0，所以ω≥u.答案：C5．已知0x1，a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x，则其中最大的是________．解析：因为0x1，所以a0，b0，c0.又a2－b2＝(2x)2－(1＋x)2＝－(1－x)20，所以a2－b20.所以ab.又c－b＝11－x－(1＋x)＝x21－x0，所以cb.所以cba.答案：c类型1用作差比较法证明不等式[典例1]已知a，b是互不相等的正数，n＞1，求证：an＋bn＞an－1b＋abn－1.证明：(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)．因为a，b∈(0，＋∞)，n＞1，n－1＞0，a≠b，所以当a＞b时，an－1＞bn－1，所以a－b＞0，an－1－bn－1＞0，所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.当a＜b时，an－1＜bn－1，所以a－b＜0，an－1－bn－1＜0，所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.归纳升华1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论．2．作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过通分、有理化、配方、分解因式将差式变形为一个常数、几个因式的积或一个分式等．以便与0比较大小．[变式训练]求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)．(2)若abc，则bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b.证明：(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)．(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，因为abc，所以b－a0，c－a0，c－b0.所以(b－a)(c－a)(c－b)0.所以bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b.类型2作商比较法证明不等式(自主研析)[典例2]已知a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab)a＋b2.解：aabb（ab）a＋b2＝aa－b2·bb－a2＝aba－b2.当a＝b时，aba－b2＝1；当ab时，ab1，a－b20，由指数函数的性质知aba－b2＞1，当ab时，0ab1，a－b20，由指数函数的性质知aba－b21.所以aabb≥(ab)a＋b2.归纳升华使用作商比较法证明不等式a＞b时，一定要注意b＞0这个前提条件，其一般的证明步骤为：(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商．(2)变形：化简商式到最简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论．[变式训练]已知a≥1，利用作商比较法，求证：a＋1－a＜a－a－1.证明：左边右边＝a＋1－aa－a－1＝a＋a－1a＋1＋a＜1，又a＋1－a＞0，a－a－1＞0.所以原不等式成立．类型3比较法的实际应用[典例3]甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？解：设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2.所以t1＝2sm＋n，t2＝s（m＋n）2mn，所以t1－t2＝2sm＋n－s（m＋n）2mn＝s[4mn－（m＋n）2]2mn（m＋n）＝－s（m－n）22mn（m＋n）.其中s，m，n都是正数，且m≠n，所以t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．归纳升华1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．[变式训练]某人乘出租车从A地到B地，有两种方案．第一种方案：乘起步价为10元，每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设从A地到B地的距离为m千米，起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当ma时，设m＝a＋x(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2x，Q(x)＝8＋1.4x，因为P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)，所以当x10时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x10时，P(x)Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．