2019年秋九年级数学上册 4.4 解直角三角形的应用 第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题课件

第4章锐角三角函数4.4解直角三角形的应用第2课时与坡度、方位角有关的应用问题学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★1．与方位角有关的应用问题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第2题；【分层作业】中的第1,3题．2．与坡角、坡度有关的应用问题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第1题；【分层作业】中的第2,4,5题．★课堂导入★如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°.如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？知识管理1．方位角的概念方位角：从某点的正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫作方位角．图4­4­10(1)中点A在点O的北偏东60°方向．2．坡角、坡度的概念坡角：山坡的坡面与地平面的夹角叫作坡角，如图4­4­10(2)所示，角α为山坡的坡角．坡度：如图4­4­10(2)所示，通常把坡面的和的比叫作坡度，通常用字母i表示，即i＝(坡度通常写成1∶m的形式)．3．坡度i与坡角α的关系关系：i＝hl＝tanα.坡度越大，山坡越陡．铅直高度h水平宽度lhl归类探究类型之一与方位角有关的应用问题[2018·贺州]如图4­4­11，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以202海里/h的速度向正东方向航行2h到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．A处与灯塔B相距多少海里？(结果精确到1海里，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图4­4­11解：如答图，过点C作CM⊥AB，垂足为M.在Rt△ACM中，∠MAC＝90°－45°＝45°，则∠MCA＝45°，∴AM＝MC.由勾股定理，得AM2＋MC2＝AC2＝(202×2)2，例1答图解得AM＝CM＝40.∵∠ECB＝15°，∴∠BCF＝90°－15°＝75°，∴∠B＝∠BCF－∠MAC＝75°－45°＝30°.在Rt△BCM中，tanB＝tan30°＝CMBM，即33＝40BM，∴BM＝403，∴AB＝AM＋BM＝40＋403≈109.答：A处与灯塔B相距约109海里．【点悟】解此类题，首先弄清楚方位角的含义，其次通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题．类型之二与坡角、坡度有关的应用问题[2018·遂宁]如图4­4­12，某测量小组为了测量山BC的高度，在底面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿着坡度为i＝1∶3的坡面AD走了200m到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°.求山BC的高度(结果保留根号)．图4­4­12解：如答图所示，过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E.易知四边形CEDF是矩形．∵坡面AD的坡度i＝1∶3，且AD＝200m，∴tan∠DAF＝DFAF＝13＝33.∴∠DAF＝30°.∴DF＝12AD＝12×200＝100(m)．例2答图∴EC＝DF＝100m.又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°.∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝30°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝15°.∴∠ABD＝∠BAD.∴BD＝AD＝200m.在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BEBD，∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×32＝1003(m)．∴BC＝EC＋BE＝100(1＋3)m.答：山BC的高度为100(1＋3)m.【点悟】把握好坡度的概念是解本题的关键，坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．当堂测评1．某拦水坝横断面如图4­4­13所示，迎水坡AB的坡度是1∶3，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是()A．15mB．203mC.103mD．20mD图4­4­132．[2018·巴彦淖尔]南沙群岛是我国固有领土．如图4­4­14，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为()A．102海里B．202海里C．203海里D．103海里A图4­4­14分层作业1．[2018·苏州]如图4­4­15，某海监船以20海里/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()DA．40海里B．60海里C．203海里D．403海里图4­4­152．[2017·德阳]如图4­4­16所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62m，背水坡CD的坡度i＝1∶3，则背水坡的坡长为m.图4­4­16123．某地一人行天桥如图4­4­17所示，天桥高6m，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶3.图4­4­17(1)求新坡面的坡角α.(2)原天桥底部正前方8m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tanα＝13＝33，∴∠α＝30°.(2)文化墙PM不需要拆除．理由：如答图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6.∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3，∴BD＝CD＝6，AD＝3CD＝63，∴AB＝AD－BD＝63－68，∴文化墙PM不需要拆除．第3题答图4．[2018·泰州]日照间距系数反映了房屋日照情况，如图4­4­18(1)，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶H－H1，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图4­4­18(2)，山坡EF朝北，EF长15m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m.(1)求山坡EF的水平宽度FH.(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？解：(1)在Rt△EFH中，∵i＝EHFH＝1∶0.75，∴EH＝43FH.∵EH2＋FH2＝EF2，∴43FH2＋FH2＝152.解得FH＝9.答：山坡EF的水平宽度FH为9m.(2)如答图，过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G，过点P作PK⊥AG于点K，第4题答图则KG＝PC＝0.9m，AG＝EH＝43FH＝12m.∴BK＝BA＋AG－KG＝22.5＋12－0.9＝33.6(m)．∵PKBK≥1.25，∴PK≥1.25BK＝1.25×33.6＝42(m)．∴CG≥42m.∵FH＝9m，HG＝EA＝4m，∴CF≥29m.答：底部C距F处至少29m.