2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、

第1课时诱导公式二、三、四(教师独具内容)课程标准：1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．教学重点：诱导公式的推导过程及其应用．教学难点：诱导公式的推导过程.核心概念掌握【知识导学】知识点一角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图a；(2)角－α的终边与角α的终边关于对称，如图b；(3)角π－α的终边与角α的终边关于对称，如图c.□01原点□02x轴□03y轴知识点二诱导公式【新知拓展】(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.(3)利用诱导公式一和三，还可以得出如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．()(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．()(5)诱导公式中的角α只能是锐角．()×√√√√2．做一做(1)已知tanα＝4，则tan(π－α)等于()A．π－4B．4C．－4D．4－π(2)sin7π6的值是()A．－12B．－2C．2D.12(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________.答案(1)C(2)A(3)0答案核心素养形成题型一给角求值问题例1求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.答案(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.答案金版点睛利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[跟踪训练1]求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin8π3cos31π6＋tan－23π4.解(1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.答案(2)原式＝sin2π＋2π3cos4π＋7π6＋tan－6π＋π4＝sin2π3cos7π6＋tanπ4＝sinπ3·－cosπ6＋tanπ4＝32×－32＋1＝14.答案题型二给值求值问题例2(1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是()A.45B．－45C．±45D.35(2)已知cosπ6－α＝33，则cosα＋5π6＝________.[解析](1)因为cos(π－α)＝－cosα，所以cosα＝35.因为α是第一象限角，所以sinα0.所以sinα＝1－cos2α＝1－352＝45.所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－45.解析(2)cosα＋5π6＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.[答案](1)B(2)－33答案解析[结论探究](1)若本例(2)中的条件不变，求cosα－13π6；(2)若本例(2)条件不变，求cos5π6＋α－sin2α－π6的值．解(1)cosα－13π6＝cos13π6－α＝cos2π＋π6－α＝cosπ6－α＝33.(2)因为cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，答案sin2α－π6＝sin2－π6－α＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，所以cos5π6＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.答案金版点睛解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[跟踪训练2](1)已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为()A．1B．－1C.13D．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为_______；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cosπ－α－3sinπ＋α4cos－α＋sin2π－α的值．答案(1)D(2)223(3)见解析答案解析(1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－130，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos2α－55°＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.解析(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tanα＝3.故2cosπ－α－3sinπ＋α4cos－α＋sin2π－α＝－2cosα＋3sinα4cosα－sinα＝－2＋3tanα4－tanα＝－2＋3×34－3＝7.解析题型三三角函数式的化简例3化简下列各式：(1)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°；(3)sin2kπ＋2π3coskπ＋4π3(k∈Z)．[解](1)原式＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－sinα－sinα－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.答案(3)当k为偶数时，原式＝sin2π3cos4π3＝sinπ－π3cosπ＋π3＝－sinπ3cosπ3＝－34.当k为奇数时，原式＝sin2π3cosπ＋4π3＝sinπ－π3cos2π＋π3＝sinπ3cosπ3＝34.答案金版点睛三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．[跟踪训练3]化简：(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α；(2)sin1440°＋αcosα－1080°cos－180°－αsin－α－180°.解(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosαtanαsinα＝sinαsinα＝1.答案(2)原式＝sin4×360°＋αcos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinαcos－α－cosαsinα＝cosα－cosα＝－1.答案随堂水平达标1．若n为整数，则化简sinnπ＋αcosnπ＋α所得的结果是()A．tannαB．－tannαC．tanαD．－tanα解析原式＝tan(nπ＋α)，无论n是奇数还是偶数，tan(nπ＋α)都等于tanα.解析答案C答案2．已知tanπ3－α＝13，则tan2π3＋α＝()A.13B．－13C.233D．－233答案B答案解析因为tan2π3＋α＝tanπ－π3－α＝－tanπ3－α，所以tan2π3＋α＝－13.解析3.cos－585°sin495°＋sin－570°的值等于________．解析原式＝cos360°＋225°sin360°＋135°－sin210°＋360°＝cos225°sin135°－sin210°解析答案2－2答案＝cos180°＋45°sin180°－45°－sin180°＋30°＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.解析4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.解析sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]＝－sin(45°＋α)＝－513.解析答案－513答案5．化简：sinα＋nπ＋sinα－nπsinα＋nπcosα－nπ(n∈Z)．解当n＝2k，k∈Z时，原式＝sinα＋2kπ＋sinα－2kπsinα＋2kπcosα－2kπ＝2cosα.当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝sin[α＋2k＋1π]＋sin[α－2k＋1π]sin[α＋2k＋1π]cos[α－2k＋1π]答案＝－2cosα.所以原式＝2cosαn为偶数，－2cosαn为奇数.答案本课结束