2019-2020学年高中数学 专题研究2课件 北师大版必修5

第1页专题研究二数列求和方法第2页授人以渔第3页题型一通项分解法例1数列1，12，2，14，4，18，……的前2n项和S2n＝________．【解析】S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝2n－1＋1－12n＝2n－12n.【答案】2n－12n第4页探究1将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形．第5页●思考题1求数列0.9，0.99，0.999，…，0.99…9…n个9前n项的和Sn.【答案】Sn＝n－19(1－0.1n)第6页题型二倒序相加法例2设数列{an}为等差数列，试证：Sn＝n（a1＋an）2.【思路分析】可用倒序相加法，证明从略．第7页探究2如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．第8页●思考题2设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．第9页【解析】∵6＋(－5)＝1，∴f(－5)，f(－4)，…，f(5)，f(6)共有11＋1＝12项．由f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…；f(0)，f(1)共有6对，且该数列为等差数列．又f(0)＋f(1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12（1＋2）＝2＋12（1＋2）＝12＝22，第10页∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)＝6·22＝32.【答案】32第11页题型三错位相减法例3求和：Sn＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋2n－12n.第12页【思路分析】数列1，3，5，…，2n－1组成等差数列，数列12，14，18，…，12n组成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．第13页【解析】∵Sn＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n－1)×12n，①∴12Sn＝1×14＋3×18＋…＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1.②①－②，得第14页12Sn＝1×12＋2×14＋2×18＋…＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝1×12＋2×14－2×12n＋11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－2n＋32n＋1.∴Sn＝3－2n＋32n(n∈N*)．第15页探究3如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．例如，课本中推导等比数列的前n项和的公式，使用的就是错位相减法．第16页●思考题3求数列n2n的前n项和．【答案】Sn＝2－n＋22n第17页题型四裂项相消法例4已知数列{1n＋n＋1}的前n项和Sn＝9，求n的值．第18页【解析】记an＝1n＋n＋1＝n＋1－n(为什么)，则a1＝2－1，a2＝3－2，a3＝4－3，…，an＝n＋1－n.∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝9，解得n＝99.第19页探究4裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．第20页●思考题4求数列11×2，12×3，13×4，…，1n（n＋1），…前n项的和．【答案】Sn＝nn＋1第21页