2019-2020学年高中数学 习题课（一） 三角函数课件 北师大版必修4

习题课一提升关键能力三角函数高频考点一角的概念与弧度制(1)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．(2)弧度制：①弧度数公式：|α|＝lr.②角度与弧度的互化：πrad＝180°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r.面积公式S＝12lr.[典例](1)与9π4终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°，k∈ZB．k·360°＋9π4，k∈ZC．k·360°－315°，k∈ZD．kπ＋5π4，k∈Z(2)一圆内切于中心角为π3，半径为R的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3[解析](1)∵9π4＝405°，∴与9π4终边相同的角可表示为k·360°－315°，k∈Z.(2)一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图，由圆的半径r＝(R－r)sinπ6，∴r＝13R，∴π·13R2∶12·π3R2＝2∶3.[答案](1)C(2)B[方法技巧]1．关于角度与弧度的互化角度与弧度的互化关键是掌握互化公式，或是由π＝180°简单推导互化公式，对于常见的角度、弧度建议识记其互化关系．2．关于弧度值公式的应用在涉及扇形的面积、弧长、圆心角等问题时，往往要用到弧度值公式的变形使用，以及扇形面积的两种表达式确定未知量或直接求面积．1.若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是()A．α＝－βB．α＝－2×360°＋βC．α＝180°＋βD．α＝(2k＋1)·180°＋β(k∈Z)解析：选D∵α，β的终边在同一直线上，∴α＝k·360°＋180°＋β＝(2k＋1)·180°＋β(k∈Z)．[集训冲关]2．若1rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为()A.π6B．sin12C.1sin12D．2sin12解析：选C1rad的圆心角所对弧长等于半径r的长．∴sin12＝1r，∴l＝r＝1sin12.3．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则这个扇形的面积是()A．2R2B．2C.12R2D．R2解析：选D∵弧长l＝4R－2R＝2R，∴S扇＝12lR＝12×2R×R＝R2.(1)假设角α的顶点是直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x，y)，OQ的长度为r＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，我们可以用这个公式来计算正弦函数、余弦函数和正切函数的值．高频考点二三角函数的定义、诱导公式(2)诱导公式：对诱导公式无需死记硬背，关键是记忆它们的结构特征，有记忆口诀如下：“奇变偶不变，符号看象限．”具体可理解为：求2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α，3π2－α，3π2＋α的三角函数值，可归结为求k·π2±α(k∈Z)的三角函数值．[典例](1)角α的终边上存在一点P－45m，35m，且cosαtanα0，求sinα＋cosα的值．(2)已知1＋tanθ＋720°1－tanθ－360°＝3＋22，求cos2π－θ＋sinπ＋θcosπ－θ＋2sin2π－θ·1cos2－π－θ的值．[解](1)由点P的坐标知，点P在第二或第四象限；由cosαtanα0知，α是第三或第四象限角．故角α是第四象限角，所以m0.P到原点的距离r＝1625m2＋925m2＝1m2＝－1m，所以sinα＝35m－1m＝－35，cosα＝－45m－1m＝45，∴sinα＋cosα＝－35＋45＝15.(2)1＋tanθ＋720°1－tanθ－360°＝1＋tanθ1－tanθ＝3＋22，所以tanθ＝22.故原式＝cos2θ＋sinθcosθ＋2sin2θcos2θ＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋22＋1＝4＋22.[方法技巧](1)利用三角函数定义解题时要注意角的终边落在射线上还是直线上，注意分类讨论．(2)利用诱导公式求值一般按“负化正”“大化小”“小化锐”“锐求值”的步骤进行．1．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sinπ2＋α－cosπ2＋αsinπ2－α－cosπ2－α＝()A．1B．7C．－7D．－1[集训冲关]解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sinα＝－35.又α是第三象限角，所以cosα＝－45，所以sinπ2＋α－cosπ2＋αsinπ2－α－cosπ2－α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝－45＋－35－45－－35＝7.2．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值为()A.223B．－223C.13D．－13解析：选D∵π4＋α－α－π4＝π2，∴cosπ4＋α＝cosπ2＋α－π4＝－sinα－π4＝－13.3．已知单位圆上一点P－32，y，设以OP为终边的角为θ(0θ2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P在单位圆上，∴y2＋34＝1.∴y＝±12.当y＝12时，sinα＝12，cosα＝－32.当y＝－12时，sinα＝－12，cosα＝－32.(1)正弦函数：单调增区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；单调减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；对称轴x＝kπ＋π2，k∈Z，对称中心(kπ，0)，k∈Z.高频考点三三角函数的图像与性质(2)余弦函数：单调增区间2kπ－π，2kπ(k∈Z)；单调减区间2kπ，2kπ＋π(k∈Z)；对称轴x＝kπ，对称中心kπ＋π2，0，k∈Z.(3)正切函数：定义域x|x≠kπ＋π2，k∈Z；单调增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)，渐近线：x＝kπ＋π2，对称中心kπ2，0(k∈Z)．[典例](1)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③(2)函数f(x)＝2x－tanx在－π2，π2上的图像大致为()(3)函数y＝－cos2x＋cosx(x∈R)的值域是________．[解析](1)①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，故②错误；③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故③错误；④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.(2)函数f(x)＝2x－tanx为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除A、B.当x→π2时，f(x)→－∞，所以排除D，选C.(3)y＝－cos2x＋cosx＝－cosx－122＋14.∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，ymax＝14.当cosx＝－1时，ymin＝－2.∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是－2，14.[答案](1)C(2)C(3)－2，14[方法技巧]求解与三角函数的图像与性质的有关问题时，应结合三角函数的图像去解决，同时要熟记有关性质结论．1．函数f(x)＝tanx1＋cosx()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数[集训冲关]解析：选A要使f(x)有意义，需满足x≠kπ＋π2，1＋cosx≠0，即x≠kπ＋π2且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为x|x≠kπ＋π2且x≠2k＋1π，k∈Z，关于原点对称．又f(－x)＝tan－x1＋cos－x＝－tanx1＋cosx＝－f(x)，∴f(x)＝tanx1＋cosx是奇函数．2．若函数f(x)＝sinωx(ω0)在π6，π2上是单调函数，则ω应满足的条件是()A．0ω≤1B．ω≥1C．0ω≤1或ω＝3D．0ω≤3解析：选C①若函数f(x)＝sinωx(ω0)在π6，π2上单调递减．令π2＋2kπ≤ωx≤3π2＋2kπ(k∈Z)，则π2ω＋2kπω≤x≤3π2ω＋2kπω(k∈Z)，∴π2ω≤π6且3π2ω≥π2，∴ω＝3.②若函数f(x)＝sinωx(ω0)在π6，π2上单调递增．令－π2＋2kπ≤ωx≤π2＋2kπ(k∈Z)，则－π2ω＋2kπω≤x≤π2ω＋2kπω(k∈Z)，∴－π2ω≤π6且π2ω≥π2，又ω0，∴0ω≤1.综上可得，0ω≤1或ω＝3.故选C.3．函数y＝cosx－1图像的对称中心为______________．解析：y＝cosx图像的对称中心为kπ＋π2，0，k∈Z，由y＝cosx的图像向下平移1个单位长度，得到y＝cosx－1的图像．所以y＝cosx－1图像的对称中心为kπ＋π2，－1(k∈Z)．答案：kπ＋π2，－1(k∈Z)函数y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤高频考点四函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用[典例](1)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图像如图所示，将f(x)的图像向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图像，则g(x)的单调递增区间为()A.2kπ－π6，2kπ＋π3(k∈Z)B.2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)C.kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)D.kπ＋π3，kπ＋5π3(k∈Z)[解析](1)因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin12ωx，且g(x)的最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以gπ4＝Asinπ4＝22A＝2，解得A＝2.所以f(x)＝2sin2x，所以f3π8＝2.(2)A＝1，T＝11π12－π6×43＝π＝2πω，∴ω＝2.∵2×π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又|φ|π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin2x＋π6.将f(x)的图像向右平移π6个单位长度后，得到的图像的函数解析式为g(x)＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6，令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，故选C.[答案](1)C(2)C[方法技巧](1)由y＝Asinωx的图像得y＝Asin(ωx＋φ)的图像时注意平移单位为φω.(2)求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时应先检查是否满足ω0.1．要得到函数y＝2