2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列 第一课时 等比数列的概念及通项公式课

等比数列第一课时等比数列的概念及通项公式预习课本P49～53，思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么？它和等差数列有什么不同？(2)等比数列的通项公式怎样表述？(3)怎样证明一个数列是等比数列？[新知初探]1．等比数列一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．通常用字母表示．二同一个q[点睛](1)“从第二项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝anan－1或q＝an＋1an.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比数列的通项公式首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为.an＝a1qn－1[点睛](1)在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项；(2)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝a1q·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()×××解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．2．下列数列为等比数列的是()A．2,22,3×22，…B.1a，1a2，1a3，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…解析：A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．答案：B3．等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．6解析：∵13＝98·23n－1，∴827＝23n－1，即233＝23n－1，∴n－1＝3，∴n＝4.答案：B4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________.解析：由题意知：q3＝a5a2＝18，∴q＝12.答案：12等比数列的通项公式[典例]已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．[解]设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，∴2q＋2q＝203，解得q＝13或q＝3.当q＝13时，a1＝18，此时an＝18×13n－1＝2×33－n；当q＝3时，a1＝29，此时an＝29×3n－1＝2×3n－3.等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[活学活用]1．在等比数列{an}中，若a1＝127，a7＝27，试求an.解：由a7＝a1q6，得27＝127·q6.∴q6＝272＝36.∴q＝±3.当q＝3时，an＝a1qn－1＝127×3n－1＝3n－4；当q＝－3时，an＝a1qn－1＝127×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.2．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.解：法一：∵a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，∴a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18，②②①得q＝12，∴14a1＋132a1＝36，∴a1＝128，而an＝a1qn－1，∴12＝128×12n－1，∴n＝9.法二：∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)，∴q＝a4＋a7a3＋a6＝1836＝12，而a3＋a6＝a3(1＋q3)，∴a3＝a3＋a61＋q3＝361＋18＝32.∵an＝a3qn－3，∴12＝32×12n－3，∴n＝9.等比数列的判断与证明[典例](1)若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．(2)已知等比数列{an}的通项公式an＝3·12n－1，且bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，求证{bn}成等比数列．[解](1)由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，anan－1＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.[答案]an＝3·(－1)n－1(2)证明：∵an＝3·12n－1，∴bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n＝3123n－3＋3123n－2＋3123n－1＝3123n－3·1＋12＋14＝214123n－3，∴bn＋1bn＝123，当n＝1时，b1＝214，∴{bn}是以214为首项，公比为18的等比数列．判断或证明数列为等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是等比数列．[活学活用]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得anan－1＝－12，又a2a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.巧设项计算等比数列问题[典例]已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．[解][法一利用通项公式设项]设这三个数依次为a，aq，aq2，由题意知a·aq·aq2＝27，a2＋a2q2＋a2q4＝91.∴aq3＝27，a21＋q2＋q4＝91，即aq＝3，a21＋q2＋q4＝91，故q21＋q2＋q4＝991得9q4－82q2＋9＝0，解得q2＝9或q2＝19，∴q＝±3或q＝±13.若q＝3，则a＝1；若q＝－3，则a＝－1；若q＝13，则a＝9；若q＝－13，则a＝－9.故这三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.[法二对称设项]由题意，可设这三个数分别为aq，a，aq，∴aq·a·aq＝27，a2q2＋a2＋a2q2＝91，即a＝3，a21q2＋1＋q2＝91，得9q4－82q2＋9＝0.解得q2＝9或q2＝19.∴q＝±3或q±13.故这三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.一般地，关于等比数列的“对称设”，当项数为奇数时，可设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称设其项；当项数为偶数时，可设中间两项分别为aq、a，再以公比为q向两边对称设其项．[活学活用]已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－32，求这四个数．解：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，①aq1＋q＝－32，②由①得a2q3＝±1，③由②得a2q2(1＋q)2＝94，④把a2q2＝1q代入④得q2－14q＋1＝0，此方程无解．把a2q2＝－1q代入④得q2＋174q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－14.当q＝－14时，a＝8；当q＝－4时，a＝－18.所以，这四个数分别是：8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.