（新高考）2020高考数学二轮复习 题型篇 专题一 三角函数与解三角形 第二讲 小题考法（二）——三

第二讲小题考法(二)——三角恒等变换与解三角形一、高考真题集中研究——明规律题组(一)三角恒等变换1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B．55C.33D．255解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝55.答案：B2．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B．79C．－79D．－89解析：∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选B.答案：B3．(2016·全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B．15C．－15D．－725解析：因为cosπ4－α＝35，所以sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×925－1＝－725.答案：D[怎么考](1)直接考查：主要有求值、求角两大类，多为利用和差公式、倍角公式、诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题．(2)间接考查：多与三角函数的图象与性质相结合，在化简三角函数解析式的过程中进行考查．在解决求值、求角问题时，要正确选择公式及掌握拆角、配角的技巧，在与三角函数图象与性质综合考查时，要善于利用辅助角公式统一名．题组(二)解三角形1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C.29D．25解析：∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝42.答案：A2．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A.31010B．1010C．－1010D．－31010解析：法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsinB，∴c＝23a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2，∴b＝53a.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.故选C.法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝13BC＝13a，B＝π4，易知BD＝AD＝13a，DC＝23a.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝13a2＋13a2＝23a.同理，在Rt△ACD中，AC＝13a2＋23a2＝53a.∴cosA＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.答案：C3．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB．又∵b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.答案：63[怎么考]以选择题或填空题的形式考查正、余弦定理时，多以简单应用为主，主要考查三角形的边、角、面积的基本运算．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)三角恒等变换[大稳定——常规角度考“四基”]1．[给角求值](2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.答案：D2．[给值求值]已知15sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝()A．－157B．157C．－158D．158解析：由15sinθ＝cos(2π－θ)，得15sinθ＝cosθ，所以tanθ＝1515，则tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×15151－15152＝157，故选B.答案：B3．[给值求角]已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B．π3C.π4D．π6解析：∵0απ2，0βπ2，∴－π2α－βπ2.∵sin(α－β)＝－1010，sinα＝55，∴cos(α－β)＝31010，cosα＝255，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝255×31010＋55×－1010＝22，∴β＝π4.答案：C[解题方略]三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与对数式交汇]已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5tanαtanβ2等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，所以sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，所以tanαtanβ＝5，所以log5tanαtanβ2＝log552＝4.故选C.答案：C2．[与解析几何交汇]设直线y＝2x的倾斜角为α，则cos2α的值为()A．－55B．－255C．－35D．－45解析：由题意知tanα＝2，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35.故选C.答案：C3．[与复数交汇]若复数z＝cosθ－45＋sinθ－35i是纯虚数(i为虚数单位)，则tanθ－π4的值为()A．－7B．－17C．7D．－7或－17答案：A解析：由复数z为纯虚数，得cosθ－45＝0，sinθ－35≠0，即cosθ＝45，sinθ≠35，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝－35，所以tanθ＝－34，于是tanθ－π4＝tanθ－tanπ41＋tanθtanπ4＝－34－11＋－34×1＝－7.4．[与三角函数概念交汇]在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点12，32，则cos2θ＋π3＝()A．－1B．1C．2D．0解析：由题意，得cosθ＝12，sinθ＝32，则sin2θ＝2sinθcosθ＝32，cos2θ＝2cos2θ－1＝－12，所以cos2θ＋π3＝cos2θcosπ3－sin2θsinπ3＝－12×12－32×32＝－1.答案：A5．[与数列交汇]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tanB＝34，则1tanA＋1tanC的值是()A.53B．34C.35D．43解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，∴1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝sinCcosA＋cosCsinAsinAsinC＝sinC＋AsinAsinC＝sinBsinAsinC＝1sinB，∵tanB＝34，∴sinB＝35，∴1tanA＋1tanC＝53.答案：A考点(二)解三角形题点一利用正、余弦定理求三角形边长[例1](1)(2019·昆明诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A.5B．6C.7D．22[解析]如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7，故选C.[答案]C(2)在△ABC中，AB＝BC，AC＝4，cosB＝19，D为BC的中点，则AD＝________.[解析]由余弦定理得cosB＝AB2＋BC2－AC22·AB·BC＝19，解得AB＝BC＝3.再运用余弦定理，得cosB＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝9＋94－AD22×3×32＝19，解得AD＝412.[答案]412[解题方略]解三角形边长问题的策略(1)求边的范围可考虑利用三角函数的有界性．(2)求边的最值可考虑应用不等式．(3)要将求解的问题归结到一个或几个三角形中，先通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确．题点二利用正、余弦定理求三角形的内角[例2](1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝acosC＋33sinC，a＝2，c＝263，则角C＝()A.3π4B．π3C.π6D．π4[解析](1)由b＝acosC＋33sinC，得sinB＝sinAcosC＋33sinC.因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋33sinAsinC.又sinC≠0，所以cosA＝33sinA，tanA＝3.因为0Aπ，所以A＝π3.由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝22.因为0C2π3，所以C＝π4.故选D.[答案]D(2)(2020届高三·湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝2sinB，则其最小内角的余弦值为()A．－24B．24C.528D．34[解析]由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b.又b2＝ac，所以b＝2a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2a2＋2a2－a22·2a·2a＝528.[答案]C[解题方略]解三角形内角问题的策略根据正弦定理、余弦定理，结合三角形中大边对大角进行分析判断．一般地，在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解．注意确定解的个数．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．题点三利用正、余弦定理解决与面积有关的问题[例3](1)(2019·广州综合检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，c＝3，C＝2B，则△ABC的面积为________．[解析](1)根据正弦定理可得2sinB＝3sin2B，即2sinB＝32sinBcosB，