（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 函数与导数（三十二）课件 理

主攻40个必考点(三十二)导数的运算及几何意义1．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：选C设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：选D∵y′＝aex＋lnx＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.4．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.答案：y＝3x5．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－36．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ax2＋x－1ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.解：(1)因为f′(x)＝－ax2＋2a－1x＋2ex，所以f′(0)＝2，f(0)＝－1，所以曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是y＋1＝2x，即2x－y－1＝0.(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x－1时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x－1时，g′(x)0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.[把脉考情]考什么1.导数的运算2.导数的几何意义及应用(求切线方程，参数值等)考多深选择、填空、解答题均有涉及，主要以选择题、填空题的形式考查，在解答题中多为第一问，难度中等，分值5～7分考多宽求切线方程或已知切线方程求参数值，常与函数性质、三角函数、直线方程等交汇命题切线方程的求法[典例1]已知点P2018π3，－1在函数f(x)＝acosx的图象上，则该函数图象在x＝3π4处的切线方程是()A．2x＋2y＋4－3π2＝0B．2x－2y＋4－3π2＝0C．2x－2y－4－3π2＝0D．2x＋2y－4－3π2＝0[解析]由点P在函数f(x)＝acosx的图象上可得f2018π3＝－1，即acos2018π3＝acos672π＋2π3＝－a2＝－1，解得a＝2，故f(x)＝2cosx.所以f3π4＝2cos3π4＝－2，f′(x)＝－2sinx.由导数的几何意义可知，该函数图象在x＝3π4处的切线斜率k＝f′3π4＝－2sin3π4＝－2.所以切线方程为y－(－2)＝－2x－3π4，即2x＋y＋2－32π4＝0，即2x＋2y＋4－3π2＝0.[答案]A增分方略求曲线在P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．已知切线求参数值或范围[典例2](1)(2019·天津联考)已知函数f(x)＝(x2－a)lnx，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a的值为________．(2)(2019·武汉一模)已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx上存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是________．(3)若两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1存在公切线，则正实数a的取值范围是________．[解析](1)由已知得，f′(x)＝2xlnx＋x－ax.因为f′(1)＝－2，所以1－a＝－2，a＝3.(2)由题意知曲线上存在某点的导数值为1，所以y′＝2ax＋3－1x＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a＜0.综上，a≥－12.(3)设y＝alnx－1的切点为(x0，y0)，求导得y′＝ax，则切线的斜率为ax0，所以公切线方程为y－(alnx0－1)＝ax0(x－x0)，联立方程y＝x2－1可得x2－ax0x＋a－alnx0＝0，由题意，可得Δ＝－ax02－4(a－alnx0)＝0，故a＝4x20(1－lnx0)．令f(x)＝4x2(1－lnx)(x0)，则f′(x)＝4x(1－2lnx)，易知，函数f(x)＝4x2(1－lnx)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以函数f(x)＝4x2(1－lnx)的最大值是f(e)＝2e，故正实数a的取值范围是(0,2e]．[答案](1)3(2)－12，＋∞(3)(0,2e]增分方略由曲线的切线求参数的方法已知曲线在某点处的切线求参数的关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值．[提醒]不要忽略曲线上横坐标的取值范围；切点既在切线上又在曲线上．切线方程的综合应用[典例3](2019·淮南一模)已知函数f(x)＝x2－lnx.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)在函数f(x)＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)∵f(1)＝1，又f′(x)＝2x－1x，∴f′(1)＝2－1＝1，故所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.(2)存在．理由如下：设所求两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1，x2∈12，1，不妨设x1x2，∵f′(x)＝2x－1x，∴由题意得2x1－1x1·2x2－1x2＝－1.∵f′(x)＝2x－1x在12，1上单调递增，∴－1≤2x1－1x1≤1，－1≤2x2－1x2≤1.又x1x2，∴f′(x1)f′(x2)，∴2x1－1x1＝－1，2x2－1x2＝1，解得x1＝12(x1＝－1舍去)，x2＝1x2＝－12舍去，∴存在满足题意的两点，其坐标为12，ln2＋14，(1,1)．增分方略与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.