（全国通用）2019年中考数学复习 第三章 变量与函数 3.1 位置的确定与变量之间的关系（讲解部分

１２　　　第三章　变量与函数§３．１　位置的确定与变量之间的关系４０考点一　平面直角坐标系内点的坐标特征　　１．各象限点的坐标的符号特征２．点到坐标轴的距离点Ｐ（ｘ，ｙ）到ｘ轴的距离为｜ｙ｜，到ｙ轴的距离为②　｜ｘ｜　，到坐标原点的距离为ｘ２＋ｙ２．３．特殊点的坐标特征（１）坐标轴上点的坐标特征：ｘ轴上的点③　纵坐标为０　；ｙ轴上的点横坐标为０；原点的坐标为④　（０，０）　．（２）象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑤　互为相反数　．（３）平行于ｘ轴（或垂直于ｙ轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于ｙ轴（或垂直于ｘ轴）的直线上的点的横坐标相等．４．直角坐标系内点的对称和平移（１）点Ｐ（ｘ，ｙ）关于ｘ轴对称的点的坐标为（ｘ，－ｙ）；点Ｐ（ｘ，ｙ）关于ｙ轴对称的点的坐标为⑥　（－ｘ，ｙ）　；点Ｐ（ｘ，ｙ）关于原点对称的点的坐标为（－ｘ，－ｙ）．（２）将点Ｐ（ｘ，ｙ）向右（或向左）平移ａ（ａ＞０）个单位，得到对应点Ｐ′（ｘ＋ａ，ｙ）（或（ｘ－ａ，ｙ））；将点Ｐ（ｘ，ｙ）向上（或向下）平移ｂ（ｂ＞０）个单位，得到对应点Ｐ′（ｘ，ｙ＋ｂ）（或（ｘ，ｙ－ｂ））．考点二　函数的概念及三种表示方法　　１．函数的定义一般地，在一变化过程中有两个变量ｘ与ｙ，如果对于ｘ在某一范围内的每一个值，ｙ都有唯一的值与它对应，那么就说ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量．２．函数值的定义对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当ｘ＝ａ时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做ｘ＝ａ时的函数值．３．函数的表示方法解析法，列表法和⑦　图象法　．４．函数图象的画法列表、⑧　描点　、连线．考点三　与函数有关的应用型问题　　根据题意直接写出函数解析式，或根据函数图象分析现实情境是常考题型，在实际问题中自变量常受限制，所以一般要在函数解析式后注明自变量的取值范围．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋４０方法一　在平面直角坐标系内求点的坐标　　１．利用对称、平移的性质求点的坐标．例１　（２０１７辽宁沈阳，６，２分）在平面直角坐标系中，点Ａ，点Ｂ关于ｙ轴对称，点Ａ的坐标是（２，－８），则点Ｂ的坐标是（　　）Ａ．（－２，－８）Ｂ．（２，８）Ｃ．（－２，８）Ｄ．（８，２）解析　关于ｙ轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．由此可得点Ｂ的坐标是（－２，－８），故选Ａ．答案　Ａ　　变式训练１　（２０１８四川成都，４，３分）在平面直角坐标系中，点Ｐ（－３，－５）关于原点对称的点的坐标是（　　）Ａ．（３，－５）Ｂ．（－３，５）Ｃ．（３，５）Ｄ．（－３，－５）答案　Ｃ解析　平面直角坐标系中任意一点（ｘ，ｙ）关于原点对称的点的坐标是（－ｘ，－ｙ），所以点Ｐ（－３，－５）关于原点对称的点的坐标是（３，５）．故选Ｃ．　　２．从一点向ｘ轴（或ｙ轴）作垂线，结合图形的特征，利用全等、相似、勾股定理、勾股定理等求出该点的坐标．例２　（２０１７河南，９，３分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为２的正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ在ｘ轴上，ＡＢ的中点是坐标原点Ｏ．固定点Ａ，Ｂ，把正方形沿箭头方向推，使点Ｄ落在ｙ轴正半轴上点Ｄ′处，则点Ｃ的对应点Ｃ′的坐标为（　　）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第三章　变量与函数１３　　　Ａ．（３，１）Ｂ．（２，１）Ｃ．（１，３）Ｄ．（２，３）解析　由题意可知ＡＤ′＝ＡＤ＝ＣＤ＝Ｃ′Ｄ′＝２，ＡＯ＝ＢＯ＝１，在Ｒｔ△ＡＯＤ′中，由勾股定理得ＯＤ′＝３，由Ｃ′Ｄ′∥ＡＢ可得点Ｃ′的坐标为（２，３），选Ｄ．答案　Ｄ　　变式训练２　（２０１６江苏苏州，９，３分）矩形ＯＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图所示，点Ｂ的坐标为（３，４），Ｄ是ＯＡ的中点，点Ｅ在ＡＢ上，当△ＣＤＥ的周长最小时，点Ｅ的坐标为（　　）Ａ．（３，１）Ｂ．３，４３()Ｃ．３，５３()Ｄ．（３，２）答案　Ｂ解析　由题意知Ａ（３，０），Ｄ３２，０()，Ｃ（０，４），设点Ｄ关于ＡＢ的对称点为Ｆ，则Ｆ９２，０()，连接ＣＦ，此时ＣＦ与ＡＢ的交点即为所求的点Ｅ，因为四边形ＯＡＢＣ为矩形，所以ＡＥ∥ＯＣ，所以△ＦＡＥ∽△ＦＯＣ，所以ＦＡＦＯ＝ＥＡＣＯ，则ＥＡ＝ＦＡ·ＣＯＦＯ＝４３，所以Ｅ３，４３()，故选Ｂ．方法二　函数图象的判断及其应用　　对于函数图象，（１）要弄清函数图象上一些特殊点的意义，如起点、终点、临界点、交点等；（２）要认识图象的变化趋势，上升或下降，直线或曲线；（３）有关实际问题的函数图象，要清楚横、纵坐标表示的意义和单位．例３　（２０１６重庆，１７，４分）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步１５００米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发３０秒后，乙才出发．在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离ｙ（米）与甲出发的时间ｘ（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　　　　米．解析　由题图得，甲的速度为７５÷３０＝２．５米／秒，设乙的速度为ｍ米／秒，则（ｍ－２．５）×（１８０－３０）＝７５，解得ｍ＝３，故乙从起点跑到终点所用的时间为１５００３＝５００（秒），所以乙到终点时，甲跑的路程是２．５×（５００＋３０）＝１３２５（米），甲距终点的距离是１５００－１３２５＝１７５（米）．答案　１７５　　变式训练３　（２０１６安徽，９，４分）一段笔直的公路ＡＣ长２０千米，途中有一处休息点Ｂ，ＡＢ长１５千米．甲、乙两名长跑爱好者同时从点Ａ出发．甲以１５千米／时的速度匀速跑至点Ｂ，原地休息半小时后，再以１０千米／时的速度匀速跑至终点Ｃ；乙以１２千米／时的速度匀速跑至终点Ｃ．下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后２小时内运动路程ｙ（千米）与时间ｘ（小时）函数关系的图象是（　　）答案　Ａ解析　甲从Ａ到Ｃ共用时间为１５÷１５＋０．５＋５÷１０＝２（小时），乙从Ａ到Ｃ共用时间为２０÷１２＝５３（小时），且甲在Ｂ点休息０．５小时，所以Ａ中图象正确．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋