2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数讲义 苏教版必修4

-1-3.2二倍角的三角函数学习目标核心素养(教师独具)1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养.倍角公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.思考1：T2α对任意角α都成立吗？[提示]不是．所含各角要使正切函数有意义．思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示]倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．1．若sinα＝15，则cos2α＝________.2325[∵cos2α＝1－2sin2α，sinα＝15，∴cos2α＝1－2×125＝2325.]2．若tanα＝3，则tan2α＝________.－34[∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×31－9＝－34.]3．若sin2α＝－sinα，且sinα≠0，则cosα＝________.-2-－12[∵sin2α＝2sinαcosα，∴2sinαcosα＝－sinα，又sinα≠0，∴cosα＝－12.]直接应用二倍角公式求值【例1】已知sin2α＝513，π4＜α＜π2，求sin4α，cos4α，tan4α的值．思路点拨：先由α的范围求2α的范围，并求出cos2α的值，进而求出sin4α，cos4α及tan4α的值．[解]由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π.又因为sin2α＝513，所以cos2α＝－1－sin22α＝－1－5132＝－1213.于是sin4α＝2sin2αcos2α＝2×513×－1213＝－120169；cos4α＝1－2sin22α＝1－2×5132＝119169；tan4α＝sin4αcos4α＝－120169119169＝－120119.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….-3-1．求下列各式的值．(1)sinπ8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan230°.[解](1)∵sin3π8＝sinπ2－π8＝cosπ8，∴sinπ8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan30°1－tan230°＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32.逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.思路点拨：切化弦→逆用二倍角公式→化简，约分[解]原式＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝2cos2α－12sinπ4－α·cosπ4－α-4-＝2cos2α－1cos2α＝cos2αcos2α＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．2．求下列各式的值：(1)2sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cosπ12cos5π12.[解](1)原式＝sin2×π12＝sinπ6＝12.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cosπ12cosπ2－π12＝cosπ12sinπ12＝122sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝12×12＝14.活用“倍角”关系巧解题[探究问题]1．已知cosπ4－x的值，如何求sin2x的值？提示：可利用sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1求解．-5-2．当题设条件中含有“π4±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？提示：可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．【例3】已知sinπ4－x＝513，0＜x＜π4，求cos2xcosπ4＋x的值．思路点拨：先由sinπ4－x求cosπ4＋x，再求sinπ4＋x即可．[解]∵π4－x＋π4＋x＝π2，∴sinπ4－x＝cosπ4＋x＝513，又0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2，∴sinπ4＋x＝1213.∴cos2xcosπ4＋x＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋xcosπ4＋x＝2sinπ4＋x＝2413.1．(变结论)本例条件不变，求cos2x.[解]∵0xπ4，∴0π4－xπ4，由sinπ4－x＝513，得cosπ4－x＝1213，cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝120169.2．(变结论)本例条件不变，求sin2x－2sin2x1－tanx的值．-6-[解]∵π4－x＋π4＋x＝π2，∴cosπ4＋x＝sinπ4－x＝513.∵sin2x－2sin2x1－tanx＝2sinxcosx－2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx－sinxcosx－sinxcosx＝2sinxcosx＝sin2x，又sin2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x＝1－2×25169＝119169.当遇到π4±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－x·cosπ4－x.类似这样的变换还有：(1)cos2x＝sinπ2＋2x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x；(2)sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1；3sin2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x等.提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.教师独具1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用．2．要掌握二倍角公式的三个应用(1)解决化简求值问题；(2)解决条件求值问题；(3)倍角公式的综合应用．3．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；-7-(2)cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x；(3)cos2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x.1．若sinα2＝33，则cosα＝()A.14B.13C.22D.23B[cosα＝1－2sin2α2＝1－2×13＝13.]2．cos2π12－sin2π12＝________.32[原式＝cos2×π12＝cosπ6＝32.]3.tan7.5°1－tan27.5°＝________.2－32[原式＝12·2tan7.5°1－tan27.5°＝12×tan15°＝12×tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝12×3－123＋13－1＝12×4－232＝2－32.]4．已知cos2θ＝725，π2＜θ＜π.(1)求tanθ；(2)求2cos2θ2－sinθ2sinθ＋π4.[解](1)由cos2θ＝725，得1－2sin2θ＝725，sin2θ＝925，∵π2＜θ＜π，∴sinθ＝35，cosθ＝－45，-8-∴tanθ＝sinθcosθ＝－34.(2)2cos2θ2－sinθ2sinθ＋π4＝cosθ＋1－sinθsinθ＋cosθ＝2.