2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线讲义 苏教版选修2-1

-1-2.1圆锥曲线学习目标核心素养1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)1.通过平面截圆锥面，培养数学抽象素养．2.借助截得的圆锥面，提升直观想象素养.圆锥曲线(1)用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．(2)设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a0)．定义(自然语言)数学语言椭圆平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距PF1＋PF2＝2a＞F1F2双曲线平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距|PF1－PF2|＝2a＜F1F2抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线PF＝d，其中d为点P到l的距离思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝3，则点P的轨迹为()-2-A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆A[∵|PF1|＋|PF2|＝3＞|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．]2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝1，则点P的轨迹为()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．双曲线的一支D[∵|PF1|－|PF2|＜|F1F2|，∴轨迹为双曲线的一支．]3．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为32，则点P到抛物线准线的距离为________．32[根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P到准线的距离为32.]4．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是________．一条射线(F1F2的延长线)[∵|F1F2|＝10，∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|.则点P的轨迹是一条射线(F1F2的延长线)．]椭圆的定义及应用【例1】(1)已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周长为16，试确定顶点C的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长．[思路探究](1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．[解](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.椭圆定义的应用方法-3-1．判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：①点P到两定点的距离之和是否为常数，②该常数是否大于两定点之间的距离．2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线AB与椭圆的两个交点．3．当条件中同时出现椭圆的两个焦点及椭圆上一点时，可考虑应用椭圆的定义进行求解．1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．必要不充分[根据椭圆的定义，应填必要不充分．]双曲线的定义及应用【例2】已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|x＋52＋y2－x－52＋y2|＝6；(2)x＋42＋y2－x－42＋y2＝6.[思路探究]把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．[解](1)∵|x＋52＋y2－x－52＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵x＋42＋y2－x－42＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．双曲线定义中的关键点在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距．在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________．双曲线的一支一条射线[∵|PA|－|PB|＝610时，∴P的轨迹为双曲线的一支．-4-又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．]抛物线的定义及应用【例3】已知动点M(x，y)满足|3x＋4y＋1|＝5x－12＋y－22，试判断动点M的轨迹．[思路探究]把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．[解]选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝|3x＋4y＋1|5，MF＝x－12＋y－22.由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．抛物线定义的应用方法1．涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物线的定义，判别动点的轨迹．2．应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上．3．若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．抛物线[由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．]如何区分椭圆与双曲线[探究问题]1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？[提示]若PF1＋PF2＝64，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝24，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？[提示]在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．-5-【例4】已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．[思路探究]根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．[解]由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过点(－1,0)．4．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．[证明]设MB＝r.∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)，∴圆心M的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．2．双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．3．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)-6-(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．()(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．()(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．()(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．()[解析](1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．以F1，F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1，F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝()A．3B．4C．5D．6C[由椭圆的定义可知P2F1＋P2F2＝10.又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.]3．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，则动点P的轨迹为________．双曲线的右支[∵MN＝4，PM－PN＝34，∴动点P的轨迹为双曲线的右支．]4．动点P(x，y)的坐标满足x－52＋y2－x＋52＋y2＝4，试确定点P的轨迹．[解]x－52＋y2的几何意义是点P到定点A(5,0)的距离，x＋52＋y2的几何意义是点P到定点B(－5，0)的距离，因此原式可化为PA－PB＝4＜AB＝10，故点P的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．