2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十二）柱、锥、台的体积 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（十二）柱、锥、台的体积一、基本能力达标1．若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3解析：选B长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60cm3.2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8解析：选C由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V＝12×(2＋1)×2×2＝6.3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为()A．63B.3C．23D．2解析：选B由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为5，可知高h＝2，又因为底面积S＝332，所以体积V＝13Sh＝13×332×2＝3.4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()-2-A．8cm3B．12cm3C.323cm3D.403cm3解析：选C由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323(cm3)．5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋4B．2π＋8C．4π＋4D．4π＋8解析：选B由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V＝1×2×4＋12×π×12×4＝8＋2π.6．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是214，则这个长方体的体积是________．解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x，由体对角线长为214，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(214)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体＝2×4×6＝48.答案：487．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为-3-V＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.答案：83π8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为________．解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.答案：24－3π29．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝13πl，得l＝6r.又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝157，圆锥的高h＝35·157，V＝13πr2h＝13π×157×35×157＝2537π.10．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求锥体的体积．解：∵VM是棱锥的高，-4-∴VM⊥MC.在Rt△VMC中，MC＝VC2－VM2＝52－42＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．在Rt△ABC中，BC＝AC2－AB2＝62－42＝25(cm)．S底＝AB·BC＝4×25＝85(cm2)，∴V锥＝13S底h＝13×85×4＝3253(cm3)．∴棱锥的体积为3253cm3.二、综合能力提升1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π解析：选B设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.2．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A.13B.12C.23D.34解析：选C∵VC­A′B′C′＝13V柱＝13，∴VC­AA′B′B＝1－13＝23.3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为()-5-A.52B.72C．2＋34D．3＋33解析：选B根据三视图，可得该几何体是上部为三棱柱、下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面是底边长为1，底边上的高为1的等腰三角形，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高是2，所以该几何体的体积为V三棱柱＋V长方体＝12×1×1×3＋1×1×2＝72.故选B.4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为材料利用率＝新工件的体积原工件的体积()A.89πB.827πC.242－13πD.82－13π解析：选A由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x，则2x2＝22－x22，∴x＝223.∴V新工件＝x3＝16227.又V原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V新工件V原工件＝1622722π3＝89π.故选A.5．已知三棱锥S­ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．-6-解析：如图，在三棱锥S­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝32×4×23＝433.在Rt△SAO中，SO＝42－4332＝463，所以V＝13×463×34×42＝1623.答案：16236．在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P­A1MN的体积是________．解析：由三视图易知几何体ABC­A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VP­A1MN＝VA1­PMN＝VA­PMN.又S△PMN＝12MN·NP＝12×12×1＝14，A到平面PMN的距离h＝12，∴VA­PMN＝13S△PMN·h＝13×14×12＝124.答案：1247．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，VC­A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh.又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝73Sh－Sh3－4Sh3＝23Sh，∴所求体积比为1∶2∶4.探究应用题8．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，-7-∴圆锥的侧面积S1＝π×2×210＝410π(cm2)．(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为rcm，由题意，知r2＝6－x6，∴r＝6－x3，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝2π3(－x2＋6x)＝－2π3[(x－3)2－9]，∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2.