2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1.2 函数的单调性（第2课时）函数的最大值

-1-第2课时函数的最大值、最小值考点学习目标核心素养图像法求函数的最值理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值数学抽象、直观想象利用函数的单调性求最值会借助函数的单调性求最值逻辑推理、数学运算函数最值的应用问题能利用函数的最值解决有关的简单实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P101的内容，思考以下问题：1．函数的最大值的概念是什么？2．函数的最小值的概念是什么？3．什么是函数的最值点？1．函数的最大值和最小值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：(1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．2．最值和最值点最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．■名师点拨(1)f(x0)是一个函数值，它是值域中的一个元素．(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))．（3）一般地，函数f（x）的最大值记为fmax，最小值记为fmin.-2-判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()(3)若函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值为1.()答案：(1)×(2)√(3)×函数f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1，0B．0，2C．－1，2D．12，2答案：C函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图像可知函数有最大值无最小值．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4.答案：4图像法求函数的最值-3-已知函数f(x)＝－2x，x∈(－∞，0)，x2＋2x－1，x∈[0，＋∞.)(1)画出函数的图像并写出函数的单调区间；(2)根据函数的图像求出函数的最小值．【解】(1)函数的图像如图所示．由图像可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．(2)由函数图像可知，函数的最小值为f(0)＝－1.图像法求函数最值的一般步骤1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－2，f(2)B．2，f(2)C．－2，f(5)D．2，f(5)解析：选C.由函数的图像知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．2．已知函数f(x)＝x2－x(0≤x≤2)，2x－1(x2)，求函数f(x)的最大值和最小值．解：作出f(x)的图像如图．由图像可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；-4-当x＝12时，f(x)取最小值为－14.所以f(x)的最大值为2，最小值为－14.利用函数的单调性求最值已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5]．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．【解】(1)f(x)是增函数．证明如下：∀x1，x2∈[3，5]且x1x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2)，因为3≤x1x2≤5，所以x1－x20，(x1＋2)(x2＋2)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在[3，5]上为增函数．(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则fmax＝f(5)＝47，fmin＝f(3)＝25.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．[注意]求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．(2019·福州检测)已知函数f(x)＝x2＋1x.(1)判断函数f(x)在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明；(2)求函数f(x)在[－3，－1]上的最大值．解：(1)函数f(x)在[－3，－1]上为增函数．理由：设－3≤x1＜x2≤－1，-5-f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2＋1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x2x1＝(x1－x2)x1x2－1x1x2，由－3≤x1＜x2≤－1可得x1－x2＜0，x1x2＞1，即有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，可得f(x)在[－3，－1]上为增函数．(2)因为函数f(x)在[－3，－1]上递增，所以f(x)的最大值为f(－1)，即为－2.函数最值的应用问题某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝－0.4x2＋4.2x，0≤x≤5，x∈N，11，x5，x∈N，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？【解】(1)由题意得G(x)＝2.8＋x，所以f(x)＝R(x)－G(x)＝－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，x∈N，8.2－x，x5，x∈N.(2)当x5时，因为函数f(x)单调递减，所以f(x)f(5)＝3.2(万元)，当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．-6-某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)解：设摊主每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N)份晚报，每月获利为y元，则有y＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180)＝－0.6x＋1188，180≤x≤400，x∈N.因为函数y＝－0.6x＋1188在180≤x≤400，x∈N上是减函数，所以x＝180时函数取得最大值，最大值为y＝－0.6×180＋1188＝1080.故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1080元．1．函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值分别为()A．f32，f－32B．f(0)，f32C．f－32，f(0)D．f(0)，f(3)解析：选B.观察函数图像知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f32.2．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)()A．只有最大值B．只有最小值C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值解析：选D.f(x)＝x2(x≥0)，－x2(x0)，画出f(x)的图像可知(图略)，f(x)既无最大值又无最小值．-7-3．若函数f(x)＝1x在[1，b](b1)上的最小值是14，则b＝________．解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝1b＝14，所以b＝4.答案：44．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1，2]上的值域．解：因为f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程为x＝m8＝－2，即m＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．所以f(x)在[1，2]上递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.所以f(x)在[1，2]上的值域为[21，49]．[A基础达标]1．函数y＝x－1x在[1，2]上的最大值为()A．0B.32C．2D．3解析：选B.函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y＝x－1x在[1，2]上是增函数．当x＝2时，ymax＝2－12＝32.2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为()A．1B．2-8-C.12D.13解析：选B.当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.3．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0解析：选C.当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上a＝±2.4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝2.所以f(x)在[0，1]上单调递增．又因为fmin＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以fmax＝f(1)＝－1＋4－2＝1.5．高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深h时水的体积为V′，则函数V′＝f(h)的大致图像为()解析：选B.由已知，当h＝0时，V′＝0，因而排除A，C，由鱼缸形状，则水面面积由小到大再变小，因而当h等量变化时，体积变化由慢到快再变慢，故选B.6．函数f(x)＝2－3x在区间[1，3]上的最大值是________．解析：因为f(x)＝2－3x在[1，3]上为单调增函数，所以f(x)的最大值为f(3)＝2－1＝1.-9-答案：17．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．解析：函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是直线x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6.故实数m的值为6.答案：68．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_____________m.解析：设隔墙的长为xm，矩形面积为Sm2，则S＝x·24－4x2＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值18.答案：39．求函数y＝f(x)＝x2x－3在区间[1，2]上的最大值和最小值．解：∀x1，x2，且1≤x1x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝x21x1－3－x22x2－3＝x21x2－3x21－x1x22＋3x22(x1－3)(x2－3)＝(x2－x1)[3(x1＋x2)－x1x2](x1－3)(x2－3)，因为1≤x1x2≤2，所以2x1＋x24，即6