2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第2课时 三角函数线

-1-第2课时三角函数线及其应用学习目标核心素养1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)通过三角函数线的学习，使三角函数赋予了几何意义，将代数与几何有机的结合，从而发现了自然界中周期现象的存在，养成用数学的眼光观察世界，培养了学生数学抽象，直观想象和数学建模的核心素养.1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.②过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.(2)图示：(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．1．角π7和角8π7有相同的()A．正弦线B．余弦线-2-C．正切线D．不能确定C[角π7和角8π7的终边互为反向线，所以正切线相同．]2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线OM，正切线A′T′B．正弦线OM，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线MP，正切线A′T′C[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．1[若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]作已知角的三角函数线【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[解]如图．其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．-3-三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．[解]如图：sin－5π8＝MP，cos－5π8＝OM，tan－5π8＝AT.利用三角函数线比较大小【例2】(1)已知cosα＞cosβ，那么下列结论成立的是()A．若α、β是第一象限角，则sinα＞sinβB．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则sinα＞sinβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ(2)利用三角函数线比较sin2π3和sin4π5，cos2π3和cos4π5，tan2π3和tan4π5的大小．思路点拨：(1)在规定象限内画出α、β的余弦线满足cosα＞cosβ→观察正弦线或正切线判断大小-4-(2)作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线→观察图形，比较大小(1)D[由图(1)可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ，故A错误；图(1)由图(2)可知，cosα＞cosβ时，tanα＜tanβ，故B错误；图(2)由图(3)可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ，C错误；图(3)由图(4)可知，cosα＞cosβ时，tanα＞tanβ，D正确．]图(4)(2)解：如图，sin2π3＝MP，cos2π3＝OM，tan2π3＝AT，sin4π5＝M′P′，cos4π5＝OM′，tan4π5＝AT′.-5-显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，∴sin2π3＞sin4π5；|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos2π3＞cos4π5；|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan2π3＜tan4π5.(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2．已知a＝sin2π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜cD[由如图的三角函数线知：MP＜AT，因为2π7＞2π8＝π4，所以MP＞OM，-6-所以cos2π7＜sin2π7＜tan2π7，所以b＜a＜c.]3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？[解]如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.利用三角函数线解三角不等式[探究问题]1．利用三角函数线如何解答形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式？提示：对形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式：图①画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sinα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sinα≥a的角α的范围．2．利用三角函数线如何解答形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式？提示：对形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式：图②-7-画出如图②所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点(a，0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cosα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cosα≥a的角α的范围．【例3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．(1)cosα＞－22；(2)tanα≤33；(3)|sinα|≤12.思路点拨：确定对应方程的解―→确定角α的终边所在区域―→写出角α的取值范围[解](1)如图，由余弦线知角α的取值范围是α2kπ－3π4＜α＜2kπ＋3π4，k∈Z.(2)如图，由正切线知角α的取值范围是αkπ－π2＜α≤kπ＋π6，k∈Z.(3)由|sinα|≤12，得－12≤sinα≤12.如图，由正弦线知角α的取值范围是αkπ－π6≤α≤kπ＋π6，k∈Z.-8-1．将本例(1)的不等式改为“cosα＜22”，求α的取值范围．[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是α2kπ＋π4＜α＜2kπ＋7π4，k∈Z.2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sinθ＜32”，求α的取值范围．[解]由三角函数线可知sinπ3＝sin2π3＝32，sin7π6＝sin－π6＝－12，且－12≤sinθ＜32，故θ的取值集合是2kπ－π6，2kπ＋π3∪2kπ＋2π3，2kπ＋7π6(k∈Z)．3．利用本例的方法，求函数y＝2sinx－1的定义域．[解]要使函数有意义，只需2sinx－1≥0，即sinx≥12.由正弦线可知定义域为2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．-9-(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合．1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题(1)三角函数线的画法，见类型1；(2)利用三角函数线比较大小，见类型2；(3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．4．利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tanx≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围1．下列判断中错误的是()A．α一定时，单位圆中的正弦线一定B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C．α和α＋π有相同的正切线D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B[A正确；B错误，如π6与5π6有相同正弦线；C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D正确．]2．如果OM，MP分别是角α＝π5的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是()A．MP＜OM＜0B．MP＜0＜OM-10-C．MP＞OM＞0D．OM＞MP＞0D[角β＝π4的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝π5的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0.]3．若a＝sin4，b＝cos4，则a，b的大小关系为．a＜b[因为5π4＜4＜3π2，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin4＜cos4，即a＜b.]4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[解](1)作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为απ3＋2kπ≤α≤23π＋2kπ，k∈Z.图①图②(2)作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角α的终边在如图②所示的-11-阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为α23π＋2kπ≤α≤43π＋2kπ，k∈Z.