2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 4 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空

-1-第2课时空间图形的公理4及等角定理学习目标核心素养1.掌握公理4和“等角定理”．(重点)2．理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义．(重点、易错点)3．会求异面直线所成的角．(难点)1.通过学习公理4和等角定理，培养逻辑推理素养．2．通过学习异面直线所成角的定义及求异面直线所成的角提升直观想象能力.1．公理4(1)条件：两条直线平行于同一条直线．(2)结论：这两条直线平行．(3)符号表述：a∥bb∥c⇒a∥c.2．等角定理(1)条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行．(2)结论：这两个角相等或互补．思考1：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？提示：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补．3．空间两条直线的位置关系共面直线异面直线：不共面的两条直线且没有公共点．4．异面直线所成的定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角取值范围异面直线所成的角θ的取值范围：0，π2-2-特例当θ＝π2时，a与b互相垂直，记作a⊥b思考2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定．可能是相交，平行或异面．1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面[答案]D2．已知a，b是平行直线，直线c∥直线a，则c与b()A．不平行B．相交C．平行D．垂直C[∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]3．空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行，若A＝70°，则B＝______.70°或110°[若A的两边与B的两边方向均相同或均相反，则B＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B＝110°.]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AA1与BC1所成的角的大小为________．45°[∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1为直线AA1与BC1所成的角，其大小为45°.]公理4的应用【例1】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.[解](1)如题图，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH＝12BD.又FG是△CBD的中位线，∴FG∥BD，FG＝12BD，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形．-3-(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空间中证明两直线平行的方法：1借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.2利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.1.已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．[解]连接AC(图略)．∵M，N为CD，AD的中点，∴MN綊12AC.由正方体性质可知AC綊A′C′，∴MN綊12A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形．等角定理的应用【例2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[解](1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体，∴AD綊A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM綊A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1綊AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1綊BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.-4-由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．2．证明角相等，一般采用以下途径：(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.[解]取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A1KBQ为平行四边形，∴A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，∴∠PA1Q＝∠MCN.求异面直线所成的角[探究问题]1．已知直线a，b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？-5-提示：如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角．2．a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上．【例3】如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD，BC所成角的大小．[思路探究]根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决．[解]如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM綊12AD，FM綊12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.1．若将例题中“AD＝BC＝2”，改为“AD＝BC且AD⊥BC”，求EF与AD所成的角．[解]如例3图中，EM綊12AD，MF綊12BC，又AD＝BC.∴EM＝MF，∴∠MEF就是EF与AD所成的角或其补角，∵AD⊥BC，-6-∴EM⊥MF，∴∠EMF＝90°∴△EMF为等腰直角三角形，∴∠MEF＝45°，即EF与AD所成的角为45°.2．若将例题中“AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝3”改为：“AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD中点”，求EF与AB所成角的大小．[解]取AC的中点G，连接EG，FG，则EG綊12AB，GF綊12CD.故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG为等腰三角形．当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.求两条异面直线所成的角的一般步骤：1构造：根据异面直线的定义，用平移法常用三角形中位线、平行四边形性质等作出异面直线所成的角.2证明：证明作出的角就是要求的角.3计算：求角度，常放在三角形内求解.4结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．-7-1．思考辨析(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.()(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．()(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．()[解析](2)×，也可能平行．(3)×，可能平行、相交、异面．[答案](1)√(2)×(3)×2．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③B[①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．]3．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，命题正确的是________．(填序号)①[①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面．]4．如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，-8-B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.