2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数

1第2课时分段函数[目标]1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，培养数学建模核心素养．[重点]分段函数求值、分段函数的图象及应用．[难点]对分段函数的理解．知识点分段函数[填一填]如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[答一答]1．分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已．(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．3．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为[－4,3]．2解析：由题图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2,3]；当x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]．故函数f(x)的值域为[－4,3].类型一分段函数的定义域、值域[例1](1)已知函数f(x)＝|x|x，则其定义域为()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f(x)＝－x2＋1，0x1，0，x＝0，x2－1，－1x0的定义域为________，值域为________．[分析]分段函数的定义域、值域⇒各段函数的定义域、值域．[答案](1)D(2)(－1,1)(－1,1)[解析](1)由于f(x)＝|x|x＝1，x0，－1，x0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知定义域为{x|0x1}∪{0}∪{x|－1x0}＝{x|－1x1}，即(－1,1)，又0x1时，0－x2＋11，－1x0时，－1x2－10，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．1.分段函数定义域、值域的求法1分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.2分段函数的值域是各段函数值域的并集.2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.[变式训练1]已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x1或x－1，则函数的定义域为R，值域为[0,1]．3解析：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．类型二分段函数求值[例2]已知函数f(x)＝x＋2x0，x20≤x2，12xx≥2.(1)求f(f(f(－12)))的值．(2)若f(x)＝2，求x的值．[分析]分段考虑求值即可．(1)先求f(－12)，再求f(f(－12))，最后求f(f(f(－12)))；(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求x.[解](1)f(－12)＝(－12)＋2＝32.∴f(f(－12))＝f(32)＝(32)2＝94，∴f(f(f(－12)))＝f(94)＝12×94＝98.(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x0.当f(x)＝x2＝2时，x＝±2，其中x＝2符合0≤x2.当f(x)＝12x＝2时，x＝4，符合x≥2.综上，x的值是2或4.1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.2多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.3已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适4用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.[变式训练2](1)已知函数f(x)＝fx－1，x0，x，x≤0，则f(1)的值为(D)A．1B．2C．3D．0(2)设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x0，若f(a)＝4，则实数a＝(B)A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2解析：(1)因为10，所以f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，故选D.(2)当a≤0时，由f(a)＝－a＝4，得a＝－4；当a0时，由f(a)＝a2＝4，得a＝2或a＝－2(舍去)．∴a＝－4或a＝2.类型三分段函数的图象[例3]画出下列函数的图象，并写出它们的值域．(1)y＝1x，0x1，2x，x≥1；(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.[分析]先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．[解](1)函数y＝1x，0x1，2x，x≥1的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．5(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝－2x＋2，x≤－1，4，－1x≤3，2x－2，x3，它的图象如图所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点关键点处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实.[变式训练3](1)下列图形是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是(C)6解析：因为f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有选项C中的图象符合．(2)已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．①作出函数f(x)的图象．②判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数．解：①函数f(x)＝|x－2|(x＋1)，去绝对值符号得f(x)＝x2－x－2，x≥2，－x2＋x＋2，x2.可得f(x)的图象如图所示．②直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图：由图象可知．当a0时，有一个交点；当a＝0时，有两个交点；当0a94时，有三个交点；当a＝94时，有两个交点；7当a94时，有一个交点．综上，当a0或a94时，有一个交点；当a＝0或a＝94时，有两个交点；当0a94时，有三个交点．1．已知f(x)＝1－x，x≤1，x，1x2，则f(x)的定义域为(C)A．RB．(－∞，1]C．(－∞，2)D．(1，＋∞)2．已知f(x)＝2x，x0，fx＋1，x≤0，则f(43)＋f(－43)等于(B)A．－2B．4C．2D．－4解析：f(43)＝2×43＝83，f(－43)＝f(－43＋1)＝f(－13)＝f(－13＋1)＝f(23)＝23×2＝43，所以f(43)＋f(－43)＝83＋43＝4.3．已知函数f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝2.解析：由题意知f(0)＝2.又f(2)＝22＋2a，所以22＋2a＝4a，即a＝2.4．设函数f(x)＝1x，x1，－x－2，x≤1，则f[f(2)]＝－52，函数f(x)的值域是[－3，＋∞)．5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)．8(1)求f[f(0)]的值；(2)求函数f(x)的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f[f(0)]＝f(4)＝2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，将x＝0，y＝4与x＝2，y＝0代入，得4＝b，0＝2k＋b.∴b＝4，k＝－2.∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(2x≤6)．∴f(x)＝－2x＋4，0≤x≤2，x－2，2x≤6.——本课须掌握的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．学习至此，请完成课时作业9学科素养培优精品微课堂分段函数在实际中的应用9开讲啦对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．[典例]如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．[解]如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm.又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)当点F在BG上时，即x∈[0,2]时，y＝12x2；(2)当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，y＝x＋x－22×2＝2x－2；(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为10y＝12x2，x∈[0，2]，2x－2，x∈2，5]，－12x－72＋10，x∈5，7].函数图象如图所示．[对应训练]在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数的图象与x轴、直线x＝－1及x＝t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S，则S关于t的函数图象为(B)11解：当－1≤t≤0时，S＝12－t22，所以函数图象是开口向下的抛物线的一段，顶点坐标为0，12；当0t≤1时，S＝12＋t22，函数图象是开口向上的抛物线的一段，顶点坐标为0，12.所以选项B满足题意.