2020届高考数学大二轮复习 层级一 第二练 复数、平面向量课时作业

-1-层级一第二练复数、平面向量限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·昆明模拟)已知复数z＝2－1＋i则()A．z的模为2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i解析：C[根据题意可知，2－1＋i＝－1－2＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为2，z的共轭复数为－1＋i，故选C.]2．已知i为虚数单位，a∈R，若2－ia＋i为纯虚数，则复数z＝2a＋2i的模等于()A.2B.11C.3D.6解析：C[由题意可设2－ia＋i＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，∴－t＝2，ta＝－1，解得t＝－2，a＝12，∴z＝2a＋2i＝1＋2i，∴|z|＝3，故选C.]3．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：C[∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，∴|BC→|＝12＋t－2＝1，∴t＝3，∴BC→＝(1,0)，∴AB→·BC→＝(2,3)·(1,0)＝2.]4．(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→|＞|BC→|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：C[本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想．-2-∵A、B、C三点不共线，∴|AB→＋AC→|＞|BC→|⇔|AB→＋AC→|＞|AB→－AC→|⇔|AB→＋AC→|2＞|AB→－AC→|2⇔AB→·AC→＞0⇔AB→与AC→的夹角为锐角．故“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→||BC→|”的充分必要条件，故选C.]5．(2020·南昌模拟)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，eπ3i表示的复数在复平面中位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：A[根据欧拉公式得eπ3i＝cosπ3＋isinπ3＝12＋32i，它在复平面中对应的点为12，32，位于复平面中的第一象限．]6．(2019·吉林三模)已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()A．2iB．iC．－iD．－2i解析：D[设z＝ai(a≠0，a∈R)，则z＋21－i＝ai＋21－i＝＋a＋－＋＝－a＋＋a2，因为z＋21－i是实数，所以2＋a＝0⇒a＝－2，故z＝－2i.]7．(2020·兰州诊断考试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于()A．－49B．－43C.43D.49解析：A[如图，∵AP→＝2PM→，∴AP→＝PB→＋PC→，∴PA→·(PB→＋PC→)＝－PA→2，-3-∵AM＝1且AP→＝2PM→，∴|PA→|＝23，∴PA→·(PB→＋PC→)＝－49.]8．(多选题)下列命题正确的是()A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2的共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是z＝z－(z－是z的共轭复数)D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y＝1解析：BC[本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算．对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，由题可知，A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y,2x－y)，即－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，故D错误．故选BC.]9．(2019·张家界三模)边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足CM→＝13CB→＋12CA→，则MA→·MB→＝()A．－89B.49C.69D.89解析：A[CA→·CB→＝2×2×cosπ3＝2，MA→·MB→＝(CA→－CM→)·(CB→－CM→)＝12CA→－13CB→·23CB→－12CA→＝13CA→·CB→－14CA2→－29CB2→＋16CA→·CB→＝23－14×22－29×22＋26＝－89.]10.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB→，BC→分别为a，b，则AH→＝()A.25a－45bB.25a＋45b-4-C．－25a＋45bD．－25a－45b解析：B[如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF→＝12EC→＝14BC→，∴GF→＝14AD→，易知△AHD∽△FHG，从而HF→＝14AH→，∴AH→＝45AF→，AF→＝AD→＋DF→＝b＋12a，∴AH→＝45b＋12a＝25a＋45b，故选B.]11．(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.3－1B.3＋1C．2D．2－3解析：A[设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1如图所示，a＝OA→，b＝OB→，(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，∠AOx＝π3.)∴|a－b|min＝|CD|－1＝3－1.(其中CD⊥OA.)]12．(2020·贵阳模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|MN→|＝2，则BM→·BN→的取值范围为()A.32，2B.32，2-5-C.32，2D.32，＋∞解析：C[不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，∴BM→＝(a,2－a)，BN→＝(a＋1,1－a)，∴BM→·BN→＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝2a－122＋32，∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得BM→·BN→∈32，2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2020·潍坊模拟)复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，则实数a的值为________．解析：z1＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i＝3a＋5＋21－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝a－13a＋a－＋(a2＋2a－15)i.∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.答案：314．(2019·全国Ⅲ卷)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝____________.解析：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．因为c＝2a－5b，a·b＝0，所以a·c＝2a2－5a·b＝2，|c|2＝4|a|2－45a·b＋5|b|2＝9，所以|c|＝3，-6-所以cos〈a，c〉＝a·c|a|·|c|.＝21×3＝23.答案：2315．(双空填空题)设复数z＝1－i1＋i2018＋2＋i1－2i2019，其中i为虚数单位，则z－的虚部是________，|z|＝________.解析：本题考查复数代数形式的乘除运算、乘方运算及复数的基本概念．∵1－i1＋i＝－2＋－＝－i，2＋i1－2i＝2＋＋2－2＋2＝i，∴z＝1－i1＋i2018＋2＋i1－2i2019＝(－i)2018＋i2019＝i2＋i3＝－1－i，∴z－＝－1＋i，则z－的虚部为1，|z|＝2.答案：1216．(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝____________.解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于F，因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．因为∠BAD＝30°，AB＝23，所以AF＝2，即AF→＝25AD→.因为AE→＝FB→＝AB→－AF→＝AB→－25AD→，所以BD→·AE→＝(AD→－AB→)AB→－25AD→＝75AB→·AD→－AB→2－25AD→2＝75×23×5×32－12－10＝－1.答案：－1