2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.1 诱导公式二、三、四学案 新人教A

1第1课时诱导公式二、三、四1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2．理解诱导公式的推导过程．3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如右图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα.cos(－α)＝cosα.tan(－α)＝－tanα.23．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于_y__轴对称．如右图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα.cos(π－α)＝－cosα.tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．设α为锐角，则180°－α，180°＋α，360°－α分别是第几象限角？[答案]分别为第二、三、四象限角2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式中角α是任意角.()(2)公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立．()(3)公式tan(π＋α)＝tanα中，α＝π2不成立．()(4)在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一给角求值问题【典例1】求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.[思路导引]利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函3数．[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[针对训练]1．计算：(1)tanπ5＋tan2π5＋tan3π5＋tan4π5；(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.[解](1)原式＝tanπ5＋tan2π5＋tanπ－2π5＋tanπ－π5＝tanπ5＋tan2π5－tan2π5－tanπ5＝0.(2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－32－cos45°－tan45°＝－32－22－1＝－2＋3＋22.4题型二化简求值问题【典例2】化简：(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α；(2)sin1440°＋α·cosα－1080°cos－180°－α·sin－α－180°.[思路导引]利用诱导公式一～四化简．[解](1)cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.(2)原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinα·cos－α－cosα·sinα＝cosα－cosα＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[针对训练]2．化简下列各式．(1)cosπ＋α·sin2π＋αsin－α－π·cos－π－α；(2)cos190°·sin－210°cos－350°·tan－585°.[解](1)原式＝－cosα·sinα－sinπ＋α·cosπ＋α＝cosα·sinαsinα·cosα＝1.(2)原式＝cos180°＋10°·[－sin180°＋30°]cos－360°＋10°·[－tan360°＋225°]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan180°＋45°]＝－sin30°－tan45°＝12.5题型三给值(式)求值问题【典例3】若sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则tan(π－α)等于()A．－12B．－32C．－3D.33[思路导引]要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．[解析]因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈－π2，0，∴cosα0，所以cosα＝1－sin2α2＝32.所以tanα＝sinαcosα＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tanα＝33.故选D.[答案]D[变式](1)若本例把条件变为cos(2π－α)＝53，且α∈－π2，0，则tan(π－α)＝________.(2)若本例改为已知sinα－π4＝32，则sin5π4－α的值为________．[解析](1)因为cos(2π－α)＝cosα＝53，α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－23，则tan(π－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝－－2353＝25＝255.(2)sin5π4－α＝sinπ－α－π46＝sinα－π4＝32.[答案](1)255(2)32解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[针对训练]3．已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A.43B.34C．－43D．－34[解析]因为sinα＝35且α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(π＋α)＝tanα＝－34.故选D.[答案]D课堂归纳小结1.四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.2.四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；7公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.1．若cos(π＋α)＝－13，则cosα的值为()A.13B．－13C.223D．－223[解析]cos(π＋α)＝－cosα，所以cosα＝13.故选A.[答案]A2．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32[解析]sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－22.故选A.[答案]A3．以下四种化简过程，其中正确的有()①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°；③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．[答案]B4．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A．－35B.35C．±35D.45[解析]∵sin(π＋α)＝－sinα＝45，∴sinα＝－45，且α为第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝35.8又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα＝35，∴选B.[答案]B5．化简：tan2π－θsin－2π－θcos6π－θcosθ－πsin5π＋θ.[解]原式＝tan－θsin－θcos－θ－cosθ－sinθ＝－tanθ－sinθcosθcosθsinθ＝tanθ.课后作业(四十一)复习巩固一、选择题1．cos－79π6的值为()A．－12B.12C．－32D.32[解析]cos－79π6＝cos－12π－7π6＝cos－7π6＝cos7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32，故选C.[答案]C2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．2[解析]∵原式＝sin2α－(－cosα·cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2，∴选D.[答案]D3．若cos(π＋α)＝－12，32πα2π，则sin(2π＋α)等于()A.12B．±32C.32D．－32[解析]由cos(π＋α)＝－12，得cosα＝12，故sin(2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α9＝－32(α为第四象限角)．[答案]D4．已知a＝cos23π4，b＝sin－33π4，则a，b的大小关系是()A．abB．a＝bC．abD．不能确定[解析]∵a＝cos23π4＝cos6π－π4＝cosπ4＝22，b＝sin－33π4＝－sin8π＋π4＝－sinπ4＝－22，∴ab.[答案]C5．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()A．sinα＝sinβB．sin(α－2π)＝sinβC．cosα＝cosβD．cos(2π－α)＝－cosβ[解析]由α和β的终边关于x轴对称，故β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.[答案]C二、填空题6．sin600°＋tan240°＝________.[解析]sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32.[答案]327．化简：1＋2sinπ－2·cosπ－2＝________.[解析]1＋2sinπ－2·cosπ－2＝1－2sin2cos2＝sin2－cos22＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin20cos2，所以原式＝sin2－cos2.[答案]sin2－cos28．已知sin5π7＝m，则cos2π7＝________.[解析]因为sin5π7＝sinπ－2π7＝sin2π7＝m，且2π7∈0，π2，10所以cos2π7＝1－m2.[答案]1－m2三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cosπ5＋cos2π5＋cos3π5＋cos4π5；(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．[解](1)原式＝cosπ5＋cos4π5＋cos2π5＋cos3π5＝cosπ5＋cosπ－π5＋cos2π5＋cosπ－2π5＝cosπ5－cosπ5＋cos2π5－cos2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1.10．化简：(1)sin540°＋α·cos－αtanα－180°；(2)cosθ＋4π·cos2θ＋π·sin2θ＋3πsinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ.[解