2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系学案 新人

15．2.2同角三角函数的基本关系1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2．理解同角三角函数的基本关系式．3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切(α≠kπ＋π2，k∈Z)．温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin2α3＋cos2α3＝1都成立．()(2)对任意角α，sin2αcos2α＝tan2α都成立．()(3)若cosα＝0，则sinα＝1.()2(4)若sinα＝35，则cosα＝1－sin2α＝45.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×题型一利用同角三角函数的基本关系式求值【典例1】(1)已知cosα＝－45，求sinα和tanα.(2)已知tanα＝3，求sin2α－2sinα·cosα－cos2α4cos2α－3sin2α的值．[思路导引]利用同角三角函数的基本关系式求解．[解](1)sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝352，因为cosα＝－450，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝35，tanα＝sinαcosα＝－34；当α是第三象限角时，sinα＝－35，tanα＝sinαcosα＝34.(2)原式＝tan2α－2tanα－14－3tan2α＝9－2×3－14－3×32＝－223.[变式](1)由本例(2)条件变为：“sinα＋cosαsinα－cosα＝2”，求4sinα－cosα3sinα＋5cosα的值．(2)若本例(2)条件不变，求34sin2α＋12cos2α的值．[解](1)由sinα＋cosαsinα－cosα＝2得tanα＝3，所以原式＝4tanα－13tanα＋5＝4×3－13×3＋5＝1114.(2)原式＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.3已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±1－sin2α求得cosα的值，再由公式tanα＝sinαcosα求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±1－cos2α求得sinα的值，再由公式tanα＝sinαcosα求得tanα的值．(3)已知tanα＝m，可以求asinα＋bcosαcsinα＋dcosα或asin2α＋bsinαcosα＋ccos2αdsin2α＋esinαcosα＋fcos2α的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(4)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．[针对训练]1．已知sinα＝1213，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.[解]cos2α＝1－sin2α＝1－12132＝5132，又α是第二象限角，所以cosα0，cosα＝－513，tanα＝sinαcosα＝－125.2．已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．[解]由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1＝－4－14＋1＝－1.题型二三角函数式的化简【典例2】化简：(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα；(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°.[思路导引]结合题目特点，利用平方关系求解．[解](1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα＝sinα1－sinα－sinα1＋sinα1＋sinα1－sinα4＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°＝cos10°＋sin10°2cos10°＋sin10°＝|cos10°＋sin10°|cos10°＋sin10°＝1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．[针对训练]3．化简：tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．[解]因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0.原式＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.4．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β.[解]原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.题型三证明简单的三角恒等式【典例3】求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[思路导引]从一边证明，使它等于另一边．[证明]∵右边＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα5＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(4)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1.[针对训练]5．求证：sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝1.[证明]sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝sinα1－cosα·cosα·sinαcosα1＋cosα＝sinα1－cosα·sinα1＋cosα＝sin2α1－cos2α＝sin2αsin2α＝1.课堂归纳小结1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.61．下列等式中恒成立的个数为()①sin21＝1－cos21；②sin2α＋cos2α＝sin23＋cos23；③sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.A．1B．2C．3D．0[解析]①②③都正确，故选C.[答案]C2．已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于()A.513B．－513C.512D．－512[解析]∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin2θ＝1－cos2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sinα0，即sinθ＝－513.[答案]B3．化简1sinα＋1tanα(1－cosα)的结果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα[解析]1sinα＋1tanα(1－cosα)＝1sinα＋cosαsinα(1－cosα)＝1－cos2αsinα＝sin2αsinα＝sinα.[答案]A4．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.357[解析]sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝25－1＝－35.[答案]B5．若tanθ＝－2，求sinθcosθ.[解]∵sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝sinθcosθcos2θsin2θ＋cos2θcos2θ＝tanθtan2θ＋1，而tanθ＝－2，∴原式＝－2－22＋1＝－25.课内拓展课外探究sinα±cosα与sinαcosα关系的应用sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.【典例】已知sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，求：(1)sinαcosα；(2)sinα－cosα；(3)sin3α＋cos3α.[解](1)由sinα＋cosα＝15，平方得2sinαcosα＝－2425，∴sinαcosα＝－1225.(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925，∴sinα－cosα＝±75.又由(1)知sinαcosα0，∴α∈π2，π，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝75.(3)∵sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，由(1)知sinαcosα＝－1225，且sinα＋cosα＝15，8∴sin3α＋cos3α＝15×1＋1225＝15×3725＝37125.[点评](1)已知sinα±cosα，sinαcosα中的一个，求其它两个的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：①(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；②(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；③(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；④(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．课后作业(四十)复习巩固一、选择题1．若α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A.15B．－15C.513D．－513[解析]因为α是第四象限角，tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512.又sin2α＋cos2α＝1.所以sinα＝－513.故选D.[答案]D2．若cosα＝23，则tanαsinα＝()A.56B.23C.45D.34[解析]由cosα＝23得|sinα|＝53，所以tanαsinα＝sin2αcosα＝59×32＝56.[答案