2021版高考数学一轮复习 第十一章 统计与统计案例 第1讲 随机抽样教案 文 新人教A版

1第1讲随机抽样一、知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．(2)常用方法：抽签法和随机数法．2．系统抽样(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n，当Nn是整数时，取分段间隔k＝Nn；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．常用结论1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差Nn的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．二、习题改编21．(必修3P100A组T1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案：A2．(必修3P64A组T5改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．答案：18一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．()(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．()(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(4)用系统抽样从102个学生中抽取20人，需用简单随机抽样方法剔除2人，这样对被剔除者不公平．()(5)在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)随机数表法的规则不熟出错；(2)系统抽样中先剔除部分个体，再分段；(3)分层抽样每层抽取的抽样比是相同的．1．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号3为．(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954解析：由题意得，从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331，455，068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.答案：0682．某学校为了解高一年级1203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，若采用系统抽样，则分段间隔为．解析：因为1203除以40不是整数，所以需随机剔除3个个体，从而每一段有30个个体，则分段间隔为30.答案：303．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为．解析：由分层抽样可得24002400＋2000＋n×90＝36，则n＝1600，所以高三被抽取的人数为16002400＋2000＋1600×90＝24.答案：24简单随机抽样(师生共研)(2020·武汉市武昌区调研考试)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下420组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为．【解析】4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371，6011，7610，1417，7140，所以所求概率P＝1－520＝1520＝0.75.【答案】0.75抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B.因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．2．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为．解析：因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中的产品放在一起搅匀按简单随机抽样法抽样较为适合．答案：简单随机抽样系统抽样(典例迁移)5采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10D．15【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则将整体分成32组，每组30人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30·(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16，17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．【答案】C【迁移探究】(变条件)若本例中条件变为“若第5组抽到的号码为129”，求第1组抽到的号码．解：设第1组抽到的号码为x，则第5组抽到的号码为x＋(5－1)×30，由x＋(5－1)×30＝129，解得x＝9，因此第1组抽到的号码为9.系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．(2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝Nn.[提醒]如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．1．某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11B．12C．13D．146解析：选B.由题意得，抽样间隔为84042＝20.所以在区间[481，720]抽取24020＝12(人)．2．(2020·内蒙古呼和浩特第一次质量普查)某班共有学生60名，座位号分别为01，02，…，60.现根据坐位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中另外一位同学的座位号为号．解析：由题意知抽样间隔f＝604＝15，因为03号、18号、48号同学在样本中，所以样本中另外一位同学的座位号为18＋15＝33号．答案：33分层抽样(师生共研)(1)(一题多解)某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()A．25，25，25，25B．48，72，64，16C．20，40，30，10D．24，36，32，8(2)一支田径队有男运动员56人，女运动员m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为128，且样本中的男队员比女队员多4人，则m＝．【解析】(1)法一：因为抽样比为10020000＝1200，所以每类人中应抽选出的人数分别为4800×1200＝24，7200×1200＝36，6400×1200＝32，1600×1200＝8.故选D.法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽选出的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8，故选D.7(2)由题意知n＝28，设其中有男队员x人，女队员有y人．则x＋y＝28，x－y＝4，56m＝xy.解得x＝16，y＝12，m＝42.【答案】(1)D(2)42(1)分层抽样中的两个等量关系①样本容量n总体的个体数N＝该层抽取的个体数该层的个体数②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．(2)分层抽样问题类型及解题思路①求某层应抽个体数量，根据该层所占总体的比例计算．②已知某层个体数量，求总体容量，根据分层抽样即按比例抽样，列比例式进行计算．③确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．1．(2020·重庆中山外国语学校模拟)如饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为()A．12B．6C．4D．3解析：选D.青年教师的人数为120×30%＝36，所以青年女教师为12人，故青年女教师被选出的人数为12×30120＝3.故选D.2．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)1308由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是．解析：设样本容量为x，则x3000×1300＝130，所以x＝300.所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，所以y＝80.所以C产品的数量为3000300×80＝800.答案：800[基础题组练]1．(2020·桂林期末)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是()A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：选B.因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选B.2．某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下