专升本高等数学课件-第三章

第三章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算一元函数积分学第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结[例]xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.1.[定义1]一、原函数与不定积分的概念若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)[问题]1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?［定理1］【原函数存在定理】必存在原函数.(下章—第五章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数(存在性).若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上[问题]2.原函数是否唯一？[例]xxcossinxCxcossin（为任意常数）C若不唯一它们之间有什么联系？[定理2]原函数都在函数族(C为任意常数)内.2.[定义2]在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)由不定积分定义若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!［例如］xxdsinCxcos记作xxd21Cx特点：可通过求导或微分验证是否正确[课本例3]设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.[解]所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xyyx)2,1(O[课本例1、例2]自阅)(xf[结论]当积分号“∫”与微分号“d”连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.由此可见:微分运算与不定积分运算是互逆的.4.[不定积分与微分的关系]xdd)1(xxfd)(从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF因此，利用逆向思维，可得基本积分公式表CxF)()(xf二、基本积分表利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx1xxd)3(时0x)1(])ln([)ln(xxx11121d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsin或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或CxcosarclnxCxx2cosd)8(xxdsec2Cxtanxxdsin)7(xx2sind)9(xxdcsc2Cxcotxxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(CaaxlncosxC[例5]求积分.d3xx[解]3dxxxxd3Cx1313.212Cx[例6]求积分.xxxd2[解]xxxd2xxd25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxxx1d1[补例]求[解]原式=xxdsin21Cxcos21xxgxfd)]()([;)()(xxgxxfdd三、不定积分的性质1.[可加性]—逐项积分xxkfd)(.)(xxfkd（k是常数，)0k2.[数乘性][推广]若则xxfkxxfkxxfkxxfnnd)(d)(d)(d)(2211[特别注意]xxgxfd)()(xxgxfd)()(xxgxxfdd)()(xxgxxfdd)()(此种情况下应设法化乘、除为加、减；然后利用性质1逐项积分[例8]求[解]原式=Cxx23125325125.310722327Cxx[课本例9]求[解]原式=[例10][解]原式=[例11][解]原式=xxd)e2(Cx)e2ln()e2(Caaxaxxlnd)13(Cxx2ln1e2[例12]求[解]原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtanxxd6cos)(;sinCxxxd7sin)(;cosCxxxd82sec)(;tanCxxxd92csc)(;cotCxxxxdtansec)(10Cxsecxxxdcotcsc)(11Cxcsc[分析]基本积分表中没有这种类型的积分,先利用三角恒等式化成表中所列积分的类型,再逐项积分：又如xxd2sin2xxd)cos1(21xxxd2cos2sin122xxd)2sin(12xxdcsc42Cxcot4降幂法Cxx)sin(21[例13][例14]xxd6cos)(;sinCxxxd7sin)(;cosCxxxd82sec)(;tanCxxxd92csc)(;cotCxxxxdtansec)(10Cxsecxxxdcotcsc)(11Cxcscxxxxd132224［提示］利用多项式除法——化乘、除为加、减，逐项积分（此为一般性方法）132224xxx)12(2x142xxdxdxd[例15]求第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题xxxdcossindCxxxsincosd)(d)(cos)(sindxuxuxu又Cxuxuxu)(sin)()(cosd微分形式的不变性【结论】将基本积分公式中的x同时换为x的可微函数u(x)，公式仍然成立,这就大大扩大了积分公式的范围.[比较①、②两式可得以下结论]引例①②复合函数的积分法——换元法—第一换元积分法（凑微分法）一、第一类换元法—凑微分法复合函数的积分法——换元法【定理1】,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式uufd)()(xu也称凑微分法即xxxfd)()]([(())d()xfx()()xufudu令CuF)(积分CxF)]([()ux回代[补例]求.d2sinxx[解Ⅰ]Ctcos21[解Ⅱ]xxd2sinCu2[解Ⅲ]xxd2sinCv2sin1222d()xxd(s2sin)inxxcos2dxvvvsin2dxxco2ssindxxx2cossindxxx[结论]凑微分时观察重点不同，所得结论形式不同.［例如］2sin1d2txtt;2cos21Cxsin2dxuuu;sin2Cxd(cos)2cosxx.cos2Cx[例3]求[解]令,2ux,2ux则uxdd于是原式)1(1d)2(1Cxxx||lnd)3(Cuuu[例4]求[解][例5]求[解])1(1d)2(1uCxxxCxuuede)12([注]例4、例5所用方法称为万能凑幂.[例6]求[解]22dxaxaxu令21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCuarctan公式221d1()xaxa2)(1)(d1axaxa22dxax[例7]求21duu想到Cuarcsin[解]Caxarcsin22dxax公式21d(())xaxa21()dxaxa22dxaxCaxaxaln21[例8]求.d22axx[解]221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21a21axlnaxlnC公式化乘除为加减—化为最简分式之和d()xaxad()xaxa22daxx［常用的几种凑微分形式］xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1万能凑幂法(如例4、例5)(如例2、例3)xxfxd)(ln)3(1xlndxxfxd)()4(1xd2(如例9)(如例10)xxxfdcos)(sin)5(xsindxxxfdsin)(cos)6(xcosd(如例11、例12、例13)xxxfdsec)(tan)7(2xtand(如例16)xxxxsfdtansec)ec()8()(secdx(如例17)[例9]求xln21xlnd[解]原式=xln21)ln21(dx12[例10]求.de3xxx[解]原式=Cx3e3232edxx3(23ed3)xxCuuu||lndCuuuede凑Cuuuede凑[例11]求.dsin3xx[解]原式=xxxdsinsin2xxcosd)cos1(2uuxud)1(2cos令Cuu331Cxx3cos31cos[例13]求[解]xxxdcossinCxcosln?dcotxxxxxsindcosCxsinlnxxdtan类似公式公式dcoscosxxidsinsnxxxxdtanxxdcotCuuu||lndCuuu||lnd凑公式Cxxtanseclnxxdsec[例19]xxdcscCxxcotcscln公式[例18]二、第二类换元法——变量代换法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(第二类换元法)(tx令)(1xt则有换元公式【定理2】1.【变量代换法定理】)(单调、可导，设tx0)(t且)()]([具有原函数，又设ttf)(1]d)()]([[d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt:)1(三角代换一般规律如下：当被积函数中含有22①xa;sintax22②xa;tantax22③ax.sectax目的是化掉根式。【说明】若令22txa22tax被积函数可能仍含有根号，故一般不用根式代换.2.【变量代换主要类型】根式代换（2）根式代换：令()tux[例21]求.)0(d22axxa[解]令,),(,sin22ππttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xataxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22Caxaxaxxxaarcsin22d22222公式22cos1cos2tt[例22]求[解]).0(d122axax令taxtanttaxdsecd2xaxd122ttatadsecsec12ttdsec1|tansec|lnCtttax22ax2,2tCaxx)ln(22aCCln1即xaxd122Caxx)ln(22公式212ln.xaxCaa[例23]求[解]).0(d122axax令taxsec2π,0ttttaxdtansecdxaxd122ttattadtantansecttdsec1|tansec|lnCtttax22ax.||ln122CaaxaxCaxx||ln22aCCln1即xaxd122Caxx||ln2