量子力学中的对称性

量子力学中的对称性：哈密顿量在某种变换下具有不变性；力学量的可能值及取值概率在变换下保持不变；力学量的平均值在变换下保持不变。对称变换应满足的条件：Dˆ1ˆˆˆˆ††==DDDD（1）为幺正算符，变换是幺正变换Dˆ（2）若不显含时间因子t，则Dˆ[]0ˆ,ˆ=DH†ˆˆˆˆ|ˆ|DADAD=′=′ψψNöther定理：如果运动规律在一个不明显依赖于时间的连续变换下具有不变性，则必存在一个对应的力学量守恒。分立变换并不一定对应一个守恒量。nnnFiFneDˆ)i(1ˆ0ˆεε∑∞===！Fˆ：的生成元Dˆ连续变换：连续变换不变性所决定的守恒量是相加性守恒量，也就是守恒性质表现为系统中各部分的该守恒量的代数和在运动过程中不变。分立变换：分立变换不变性所决定的守恒量是相乘性守恒量，也就是守恒性质表现为系统中各部分的该守恒量的乘积在运动过程中不变。三、空间对称变换（1）空间坐标变换),,(),,(321xxxzyxr==正交变换Q=′′′321321xxxQxxx经典变换，c数变换rQr=′rQr′=−1QQ~1=−=′+=′−=′zzyxyyxxααααcossinsincos−=1000cossin0sincosααααQ对称变换群{}Q如：绕z轴转α群)3(O（2）希尔伯特空间的变换对称变换)()(rrψψ=′′rrQ′→′→ψψ||=ψψ|)(rr′′=′′ψψ|)(rr一种空间分布一种新的空间分布不考虑空间变换以外的其他变动′=′∂∂ψψ|ˆ|iHtr)(rψ新函数在新坐标点处的函数值等于老函数在老坐标点处的值。=∂∂ψψ|ˆ|iHt整体变换)()()(1rQrr′==′′−ψψψ)()(rrψψ=′′rQr=′rQr′=−1)()(rQrψψ′=′′)()(1rQr−=′ψψ)(rψ=)()(1rQr−=′ψψ或者)()(rrQψψ′→)()(ˆ)(rQDrψψ=′)(1rQ−=ψ连续两次变换)()(ˆ)(ˆ21rQDQDψ)()(ˆ121rQQD−=ψ())(1112rQQ−−=ψ()rQQ1112−−=ψ()rQQ121)(−=ψ)()(ˆ21rQQDψ=)(ˆ)(ˆ)(ˆ2121QQDQDQD=)(ˆQD形成与{Q}同构的群{})(ˆQD)(ˆ)(ˆ)(ˆ11−−=QQDQDQD1)(ˆ==ID)(ˆ)(ˆ11−−=QDQD′=′ψψ|)(rr=ψ|ˆ|Dr)()(ˆ)(rQDrψψ=′)(1rQ−=ψ=−ψ|1rQ|)(ˆ|1rQQDr−=|)(ˆ|1rQQDr=−到右矢空间′==rrQrQD|||)(ˆ|)(ˆ|†rQQDr==′rQDr|)(ˆ|rQr=′=−rQrQD1†||)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ†11QDQDQD==−−力学量算符的变换†ˆˆˆˆDADA=′†ˆˆˆˆDrDr=′=′rDrDrr|ˆˆˆ|ˆ†=−rQrD1|ˆˆ⋅=−−rQrQD11|ˆc数⋅=−−rQQDrQ11|)(ˆ=−−rQQrQ11|=−rrQ|1=′rQDr|)(ˆ|=−rQrQD1†||)(ˆ=rrrr||ˆ=−−rrQrrQ||ˆ11rQrˆˆ1−=′rQr=′c数变换q数变换位形空间坐标点的变换希尔伯特空间坐标算符的变换§2空间平移与反演变换一、空间平移不变性与动量守恒arr+→′)()()(ˆ)(1rQraDr−==′ψψψarrQr+==′arrQ−=−1)(ar−=ψ+∇⋅−=)()(rarψψ+∇−⋅−=)()i(i)(rarψψ)(ˆirepaψ⋅−=paeaDˆi)(ˆ⋅−=paeaDˆi†)(ˆ⋅={})(ˆaD平移群若系统具有空间平移不变性[]0ˆ,ˆ=DH0,ˆˆi=⋅−paeH[]0ˆ,ˆ=pH动量守恒系统具有空间平移不变性系统动量守恒空间绝对位置不可观测′==rrQrQD|||)(ˆ+==arrQraD|||)(ˆarrQr+==′paeaDˆi)(ˆ⋅−=坐标本征矢的上升算符)(ˆˆ)(ˆˆ†aDpaDp=′pˆ=动量算符在平移变换下不变例：paeaDˆi)(ˆ⋅−=?ˆˆˆˆ†==′DrDrpaeaDˆi)(ˆ⋅−=∑=⋅−=0ˆ)i(!1nnnpan[]nnpprpˆˆiˆ,ˆ∂∂−=1ˆi−⋅−=npn[]−=∑=rpanraDnnnˆ,ˆ)i(!1ˆ,)(ˆ0)ˆi()i(!111∑=−−−=nnnpnan)(ˆ)i()!1(1111apannnn−⋅−−=∑=−−)(ˆaDa⋅−=paDpaDpˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†==′[])(ˆˆ,)(ˆaDaraD⋅−=)(ˆ)(ˆˆˆ)(ˆaDaaDrraD⋅−=⋅−⋅)(ˆ)ˆ(ˆ)(ˆaDarraD⋅−=⋅)(ˆ)(ˆ)ˆ()(ˆˆ)(ˆ††aDaDaraDraD⋅⋅−=⋅⋅arrQr+==′araDraDr−==′ˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†rQarrˆˆˆ1−=−=′paDpaDpˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†==′自旋为粒子的内禀属性，不受空间平移影响SaDSaDSˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†==′力学量)ˆ,ˆ,ˆ(ˆˆSprFF=)ˆ,ˆ,ˆ(ˆ)(ˆˆ)(ˆˆ†SprFaDFaDF′′′==′二、空间反演变换rPrr⋅=−=′)(11rPrPr−⋅=′=−−rrP−=⋅−11−=PP1.宇称算符=′ψψ|)(ˆ|PD)(πˆ)(rrψψ=′)(1rP−=ψ)(r−=ψrrPr−=⋅=′=ψ|πˆ若系统反演不变，为幺正算符πˆ1πˆπˆπˆπˆ††=={}IP,空间反演群群2S1πˆπˆπˆπˆ††==)()(πˆ)(πˆπˆ)(πˆ2rrrrψψψψ=−=⋅=又：1πˆπˆπˆ2=⋅=†πˆπˆ=既是幺正算符，又是厄米算符πˆ定义一个力学量本征值1±=λ1=λ)()()(πˆrrrψλψψ==)()(rrψψ=−偶宇称态宇称1−=λ)()()(πˆrrrψλψψ−==)()(rrψψ−=−奇宇称态0]πˆ,ˆ[=H系统的宇称守恒若系统反演不变)()1(),()(πˆ)(πˆrYrRrnlmllmnlnlmψϕθψ−==氢原子波函数l宇称2.算符的宇称†πˆˆπˆˆrr=′=′rrrr|πˆˆπˆ|ˆ†−=rr|ˆπˆ−−=rr|)(πˆ−⋅−=rr|πˆ−=rr|−=rr|ˆrrrˆπˆˆπˆˆ†−==′奇宇称算符对动量算符−−==⋅preprrp||irprrpd||πˆ|πˆ∫=rprrd||∫−=rprrd||∫−−−=−=p|=′pppp|πˆˆπˆ|ˆ†−=pp|ˆπˆ−−=pp|)(πˆ−−=pp|πˆ)(−=pp|pppˆπˆˆπˆˆ†−==′奇宇称算符对角动量算符LLLˆπˆˆπˆˆ†==′偶宇称算符=rPr|ˆπˆ标量算符：SSSˆπˆˆπˆˆ†==′SSSˆπˆˆπˆˆ†−==′矢量算符：AAAˆπˆˆπˆˆ†−==′prˆ,ˆSLˆ,ˆHˆ|ˆ|ˆˆˆppSh⋅=（真）标量算符偶宇称算符，奇宇称算符，赝标量算符奇宇称算符，（真）矢量算符AAAˆπˆˆπˆˆ†==′偶宇称算符，赝矢量算符粒子的内禀宇称π介子自旋为零，奇宇称，赝标介子−0光子自旋为1，奇宇称，矢量粒子−1质子和中子自旋为1/2，偶宇称费米子+)21(0ππθ+→++++−+++→πππτ二者是两种不同的粒子还是同一种粒子？τ–θ疑难3.弱相互作用下宇称不守恒−0π介子自旋为零，奇宇称，赝标介子偶宇称+θ奇宇称+τ二者是同一种粒子弱相互作用中，宇称不守恒！§3空间转动=zyxRzyx'''rRrQr==′一、无限小转动+++=+++=+++=zyxzzzyxyyzyxxx333231232221131211'''εεεεεεεεε+=333231232221131211εεεεεεεεεIR为无穷小实数ijε111==−−RRRR1†ˆˆ−=RRε+=IRε−=−IR1εε−=†jiijεε−=绕轴转角nϕd−−−=000231323121312εεεεεεε群)3(O群)3(SO−−−=111xyxzyzRδϕδϕδϕδϕδϕδϕkjizyxδϕδϕδϕδϕ++=角位移rnrr×+=′δϕ−−−=000231323121312εεεεεεεε+=IR+−=′−+=′+−=′yxzzzxyyzyxxxyxzyzδϕδϕδϕδϕδϕδϕ−+=′−+=′−+=′)()()(xyzzzxyyyzxxyxxzzyδϕδϕδϕδϕδϕδϕ定义nδϕ=rnRr),(δϕ=′无限小转动可用矢量描写无限小转动rRrnrr=×+=′δϕrnrrr×=−′=ϕδdrtntr×=δδϕδδr×=ωv)()()(rrRrψψψ=′=′′)()(1rRr−=′ψψ)()(ˆ)()(ˆrnDrRDψδϕψ==rnrrR×−=−δϕ1)d()(rnrr×−=′ϕψψ+×⋅∇−=)()(rnrδϕψψ()+∇−×⋅−=)i()i()(ψδϕψrnr+⋅−=)(ˆi)(rLnrψδϕψ)(eˆirLnψδϕ⋅−=LnnDˆie)(ˆ⋅−=δϕδϕLnnDˆie)(ˆ⋅−=δϕδϕ若哈密顿量具有旋转对称性(空间各向同性)[]0)(ˆ,ˆ=δϕnDH0]ˆ,ˆ[=⋅LnH系统在方向的角动量守恒n0]ˆ,ˆ[=⋅LnH若与无关，n则守恒Lˆ对称性与能级简并0]ˆ,ˆ[=AH若两力学量满足，0]ˆ,ˆ[=BHHˆ，则的本征态一般是简并的。且0]ˆ,ˆ[≠BA两个守恒量若系统的对称变换群是非阿贝尔的，则能级是简并的0)](ˆ,ˆ[=QDH对于对称变换群中的一个群元)(ˆQD=iiiEHϕϕ||ˆ设=iiHQDQDHϕϕ|ˆ)(ˆ|)(ˆˆ=iiiEHϕϕ||ˆ=iiQDEϕ|)(ˆ若与独立，能级简并iϕ|iQDϕ|)(ˆ设简并度为k，即k个独立态对应能级iEki,,2,1,|=αϕα=iiiQDEQDHϕϕ|)(ˆ|)(ˆˆ∑=αααϕϕiicQD||)(ˆ{}ikiiϕϕϕ|,,|,|21不变子空间力学量算符的变换†ˆˆˆˆDADA=′†ˆˆˆˆDrDr=′⋅+⋅−=LnrLnˆi1ˆˆi1δϕδϕ⋅−=rLnrˆ,ˆiˆδϕLnnDˆie)(ˆ⋅−=δϕδϕ⋅−==′rLnrDrDrˆ,ˆiˆˆˆˆˆ†δϕγβαcosˆcosˆcosˆˆzyxLLLLn++=⋅[]kijkjirirLˆˆ,ˆε=rnrLnˆiˆ,ˆ×−=⋅)ˆi(iˆˆ