福建省厦门市松柏中学20212022学年高二上学期开学考试数学试题试卷参考答案

第1页，共6页2021-2022学年（上）松柏中学高二年开学适应性练习数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数2aii+−为纯虚数，则实数a=()A.−2B.−12C.2D.122.在ABC中，已知ACB=90，CA=3，CB=4，点E是边AB的中点，则CEAB=()A.2B.72C.7D.−723.函数f(x)=log3(1+x)的定义域为()A.(−,−1)B.(−1,+)C.[−1,+)D.(0,+)4.为了解学生在假期里每天锻炼身体的情况，随机统计了100名学生在假期里每天锻炼身体的时间，所得数据都在[50,150]内，其频率分布直方图如图所示，那么，学生在假期每天锻炼身体的时间的中位数是()A.106.25B.112.5C.100D.1105.在直角坐标系xOy中，点P(xP,yP)和点Q(xQ,yQ)满足QPPQPPxyxyyx=+=−，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若OQmOP=及POQ=，其中O为坐标原点，则m与的值()A.=4，m不确定B.不确定，m=2C.m=2，=4D.以上答案都不对第2页，共6页6.下列命题中正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是平行四边行的多面体叫做棱柱B.用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥D.以圆的直径为轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球7.在ABC中，点M是AB的中点，AN=23AC，线段CM与BN交于点O，动点P在BOC内部活动(不含边界)，且AP==AB=+AN，其中、R，则+的取值范围是()A.(34,118)B.(34,32)C.(1,118)D.(1,32)8.如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A.84，4.84B.84，16C.85，1.6D.85，8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设m，n是两条直线，，是两个平面，以下判断正确是()A.若m//，//，则m//B.若m//，m//，则//C.若m⊥，n⊥，则m//nD.若m⊥，//，则m⊥10.已知复数z满足(1−i)z=2i(i是虚数单位)，则下列关于复数z的结论正确的是()第3页，共6页A.|z|=2B.复数z的共轭复数为z=−1−iC.复平面内表示复数z的点位于第三象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根11.甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则()A.事件A、B是相互独立事件B.事件B、C是互斥事件C.P(A)=P(B)=P(C)D.P(ABC)=1812.如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=22，AA1=3，则下列说法正确的是()A.圆柱的侧面积为23B.圆柱的侧面积为66C.圆柱的表面积为66+12D.圆柱的表面积为26+6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z=(m2+2m−3)+(m−1)i是纯虚数，则实数m的值为.14.已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的体对角线长为.15.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则甲、乙、丙、丁四位同学中知道自己成绩的是.16.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的外接球的表面积是.第4页，共6页四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：[25,300,第2组：[30,35),第3组：[35,40),第4组：[40,45),第5组：[45,50]，得到不完整的人数统计表如下：年龄所在区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数5050a150b其频率分布直方图为：(1)求人数统计表中的a和b的值；(2)根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；(3)用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，ABP是等边三角形且边长是4，DA=DP.(1)证明：AP⊥BD；(2)若DA=4，BD=26，求三棱锥D−BPC的体积.第5页，共6页19.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a=12c+bcosC.(1)求角B的大小；(2)若a+c=5，b=13，求△ABC的面积．20.某市A，B两校组织了一次英语笔试(总分120分)联赛，两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀．赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间[100,120]内)，将这些数据分成4组：[100,105),[105,110),[110,115),[115,120].得到如下两个频率分布直方图：(1)分别计算A，B两校联赛中的优秀率；(2)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金y(单位：百元)与其成绩t的关系式为①当a=0时，试问A，B两校哪所学校的获奖人数更多？②当a=0.5时，若以奖学金的总额为判断依据，试问本次联赛A，B两校哪所学校实力更强？21.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN//平面PAD.(2)试在CD上确定一点Q，使平面MNQ⊥平面ABCD，并证明你的结论．第6页，共6页22.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若sinA+sinB=2sinC，a=2b.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积S=3154，求ABC三边的长第1页，共3页2021-2022学年（上）松柏中学高二年开学适应性练习数学试题【答案】1.D2.B3.B4.A5.C6.D7.D8.C9.CD10.ABD11.AC12.BC13.314.1415.乙和丁16.617.解：(1)由题设可知，0.085500200a，0.02550050.b…(3分)(2)根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数为：0.33538.75.0.08…(6分)(3)第1，2，3组共有5050200300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，第1组抽取的人数为6501300，第2组抽取的人数为6501300，第3组抽取的人数为62004.300…(8分)记第1组抽取的1位同学为A，第2组抽取的1位同学为B，第3组抽取的4位同学为1C，2C，3C，4.C从6位同学中抽两位同学有：(,)AB，1(,)AC，2(,)AC，3(,)AC，4(,)AC，1(,)BC，2(,)BC，3(,)BC，4(,)BC，12(,)CC，13(,)CC，14(,)CC，23(,)CC，24(,)CC，34(,).CC共有15种等可能．…(10分)其中2人比赛结果都不在第3组的有：(,)AB，共1种可能．至少有1人比赛结果在第3组的概率为1141.1515…(12分)18.证明：(1)取AP的中点M，连接DM，BM，DADP，BABP，PADM，PABM，又DMBMM，PA平面DMB，又BD平面DMB，PABD；第2页，共3页解：(2)ABCD是平行四边形，DBCABDSS，DBPCPDBCPABDDAPBVVVV，由PAB和PAD是边长为4的等边三角形，得16423BMDM，又4BD，222DMBMDB，得DMBM，由(1)知，PA平面BDM，DMPA，而PABMM，DM平面PAB，则111423238.332DAPBAPBVSDM19.解：(1)由1cos2acbC，可得2sinsin2sincosACBC，()ABC，2sin()sin2sincosBCCBC，即sin(2cos1)0.CB0C，sin0C，1cos2B，.3B(2)由余弦定理：2222cosbacacB，有213()3acac，4ac，故1sin3.2ABCSacB20.解：(1)由频率分布直方图知，A校的优秀率为0.0650.3，B校的优秀率为0.0450.2.(2)①A校的获奖人数为100(10.045)80，B校的获奖人数为100(10.025)90，所以B校的获奖人数更多．②A校学生获得的奖学金的总额为：0.21000.50.51001.50.31002.8169(百元)16900(元)，B校学生获得的奖学金的总额为：0.11000.50.71001.50.21002.8166(百元)16600(元)，1690016600，A校实力更强．21.证明：(1)取PD的中点E，连接AE，NE，N是PC的中点，E是PD的中点，12NECD，1//.2NECD四边形ABCD是平行四边形，M是AB的中点，第3页，共3页1//2AMCD，12AMCD//AMNE，AMNE四边形AMNE是平行四边形，//AEMN，又MN平面PAD，AE平面PAD，//MN平面.PAD解：(2)当点Q为CD中点时，平面MNQ平面.ABCDM，N分别是AB，PC的中点．//NQPD，//MQAD，可得面//MNQ面PAD，PA平面ABCD，面PAD平面ABCD，平面MNQ平面.ABCD22.解()Ⅰ由已知sinsin2sinABC根据正弦定理可得2ab又322abcb，在ABC中由余弦定理，可得：22222229414cos234bbbbcaAbcb--------(6分)()Ⅱ由()Ⅰ可知1cos4A，又150sin4AA且32cb，ABC面积3154S，213153sin152444bcAb解得2b，4a，2b，3c34ca综上可得4a，2b，3c-------(12分)