2021北京人大附中初三上期中数学试题详细解答

1/272021北京人大附中初三（上）期中数学2021.11.3制卷人：王宇审卷人：孙芳、左丽华第一部分：选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）方程2520xx−−=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A．1，5−，2−B．1，5，2C．1，5，2−D．0，5−，2−2．（2分）若点(3,2)A−与点B关于原点对称，则点B的坐标为()A．(3,2)B．(3,2)−C．(3,2)−D．(3,2)−−3．（2分）若点(0,)a，(4,)b都在二次函数2(2)yx=−的图象上，则a与b的大小关系是()A．abB．abC．ab=D．无法确定4．（2分）用配方法解方程2410xx+−=时，原方程应变形为()A．2(2)5x+=B．2(2)3x+=C．2(2)3x−=D．2(2)5x−=5．（2分）如图，RtABC中，90C=，4AC=，3BC=，以点B为中心，将ABC旋转到DBE，使点E恰好在AB上，则AE的长为()A．1B．2C．3D．46．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出40ABcm=，10CDcm=，则轮子的半径为()A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm2/277．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxbxc=++的对称轴为直线2x=，与x轴的一个交点为(1,0)，则下列说法中不正确的是()A．0a，0cB．40ab+=C．方程20axbxc++=的实数为11x=，23x=D．不等式20axbxc++的解集为13x8．（2分）如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分ABC；②//BCOD；③2CEOE=．所有正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案，如图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是．3/2710．（2分）将抛物线212yx=向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为．11．（2分）如图，在O中，ABBCCD==，连接AC，CD，则AC2CD（填“”，“”或“=”)．12．（2分）一元二次方程220xxc++=有两个相等实数根，则c=．13．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若80BOC=，则BDC的度数为．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是将DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是．15．（2分）某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2yaxbx=+，其中0ab+．下列结论：①若这个函数的图象经过点(2,0)，则它必有最大值；②若这个函数的图象经过第三象限的点P，则必有0a；③若0a，则方程20axbx+=必有一根大于1；④若0a，则当112x时，必有y随x的增大而增大．结合图象判断，所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）解方程：267xx−=．4/2718．（5分）如图，已知ABAC=，CA平分BCD，E在BC上，且90BAECAD==．求证：CDBE=．19．（5分）已知a是方程2210xx−−=的一个根，求代数式2(2)(1)(1)aaa−++−的值．20．（5分）如图，A，B是O上的两点，C是AB的中点．求证：AB=．21．（5分）下面是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程：已知：MON．求作：射线OP，使得OP平分MON．作法：如图，①在射线OM上任取一点A，以A为圆心，OA长为半径作圆，交OA的延长线于点B；②以O为圆心，OB长为半径作弧，交射线ON于点C；③连接BC，交A于点P，作射线OP．射线OP就是要求作的角平分线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OB是A的直径，点P在A上，90OPB=()（填推理的依据）．OPBC⊥．OBOC=，OP平分MON()（填推理的依据）．22．（6分）已知关于x的一元二次方程2240xmxm−+−=．5/27（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数2yxmxn=++的对称轴为直线2x=，且经过点(0,3)A．（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移个单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点之间的距离为4．24．（6分）如图，RtABC中，90C=，6AC=，8BC=．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为()ts．（1）①当运动停止时，t的值为．②设P，C之间的距离为y，则y与t满足（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）．（2）设PCQ的面积为S，①求S的表达式（用含有t的代数式表示）；②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？6/2725．（6分）已知AB是O的直径，C为O上一点，连接BC，过点O作ODBC⊥于D，交BC于点E，连接AE，交BC于F．（1）如图1，求证：2BACE=．（2）如图2，连接OF，若OFAB⊥，1DF=，求AE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2221yxmxm=−+−．（1）求抛物线的顶点坐标（用含有m的式子表示）．（2）若这条抛物线过点1(2,)my−，2(,)mny+，且12yy，结合图象，求n的取值范围；（3）直线yxb=−+与x轴交于点(3,0)A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于点P，Q，若OAP和OAQ中有且仅有一个为钝角三角形，结合图象，求m的取值范围．27．（7分）在ABC中，ABAC=，BAC=，D为平面内一点，且满足ADAB，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180−，得到线段AE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，恰有//AEBC，连接DE交AC于F，求证：F为DE中点；（2）连接BE，CD，取BE的中点G，连接AG，①当点D在ABC内时，如图2，用等式表示AG与CD的数量关系，并证明；②令90=，若当A，D，G三点共线时，恰有120AGB=，直接写出此时DGCD的值．7/2728．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和图形W，如果对于给定的角(090)，存在线段AB上一点C，使得将线段AB绕点C顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形W有公共点，则称图形W是线段AB的−联络图形．例如，如图中的正方形即为线段AB的90−联络图形．已知点(1,0)A，（1）若点B的坐标为(3,0)，直线1y=−是线段AB的−联络图形，则可能是下列选项中的（填序号）:①15②30③54（2）若点B的坐标为(,0)t，直线333yx=+是线段AB的60−联络图形，求t的取值范围；（3）若第一象限内的点B满足2AB=，点(,0)Pm，(1,3)Qm−，若存在某个点B，以及某个，使得线段PQ是线段AB的−联络图形，直接写出m的取值范围．8/272021北京人大附中初三（上）期中数学参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．【解答】解：方程2520xx−−=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，5−，2−，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找各项的系数时，带着前面的符号．2．【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案．【解答】解：点(3,2)A−与点B关于原点对称，点B的坐标为(3,2)−，故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．3．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线2x=，然后比较两个点离直线2x=的远近得到a、b的大小关系．【解答】解：2(2)yx=−，抛物线开口向上，对称轴是直线2x=，点(0,)a，(4,)b离直线2x=一样近，ab=，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．【分析】常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：2410xx+−=，241xx+=，则24414xx++=+，即2(2)5x+=，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20(0)axbxca++=的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实9/27数解．5．【分析】由勾股定理得出AB的长，再由旋转的性质得3BEBC==，即可求得结果．【解答】解：90C=，4AC=，3BC=，225ABACBC=+=，DEB由ABC旋转所得，3BEBC==，532AEABBE=−=−=，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．6．【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在RtOBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解答】解：设圆心为O，连接OB．RtOBC中，1202BCABcm==，根据勾股定理得：222OCBCOB+=，即：222(10)20OBOB−+=，解得：25OB=；故轮子的半径为25cm．故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．【分析】由开口方向和与y轴的交点位置判定选项A，由对称轴为直线2x=判定选项B，由图象与x轴的交点判定选项C和选项D．【解答】解：A、开口向下，与y轴的交点在y轴负半轴上，0a，0c，故选项A正确，不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线2x=，10/2722ba−=，40ba+=，故选项B正确，不符合题意；C、函数图象与x轴的一个交点为(1,0)，对称轴为直线2x=，函数图象与x轴的另一个交点为(3,0)，方程20axbxc++=的实数为11x=，23x=，故选项C正确，不符合题意；D、由图象可知，函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围为1x或3x，不等式20axbxc++的解集为1x或3x，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点和一元二次方程、一元二次不等式间的关系，解题的关键是能够快速准确的读懂题目发现图象中所蕴含