思想方法 第3讲　分类讨论思想

第3讲分类讨论思想思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝23时，直线l的方程为()A．x＝0B．15x－8y－8＝0C．3x－4y＋4＝0或x＝0D．3x＋4y－4＝0或x＝0________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2，数列{an}的前n项和为Sn，则S30等于()A．351B．353C．531D．533________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．例2设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，则|PF1||PF2|＝________.________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3(2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋1x(x0)，若fx[fx]2＋a的最大值为25，则正实数a＝________.________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．