第二课时 简单的三角恒等变换

第二课时简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简1.2cos58°＋sin28°cos28°＝()A.－3B.1C.3D.2答案C解析原式＝2cos（30°＋28°）＋sin28°cos28°＝232cos28°－12sin28°＋sin28°cos28°＝3cos28°cos28°＝3.2.化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.答案12cos2x解析原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2·sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.3.(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.答案－2解析原式＝sin10°－3cos10°cos10°·cos10°sin50°＝－2sin50°sin50°＝－2.4.化简：(1tanα2－tanα2)·1＋tanα·tanα2＝________.答案2sinα解析(1tanα2－tanα2)·(1＋tanα·tanα2)＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·(1＋sinαcosα·sinα2cosα2)＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.感悟提升1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考点二三角函数求值问题角度1给角求值例1(1)计算sin235°－12cos10°·cos80°＝________.答案－1解析sin235°－12cos10°·cos80°＝1－cos70°2－12cos10°·sin10°＝－cos70°2sin10°·cos10°＝－sin20°sin20°＝－1.(2)(2021·盐城二模)3tan12°－3（4cos212°－2）sin12°＝________.答案－43解析原式＝3sin12°cos12°－32（2cos212°－1）sin12°＝2312sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin（－48°）2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－43.(3)(多选)下列各式中值为12的是()A.1－2cos275°B.sin135°cos15°－cos45°cos75°C.tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°D.cos35°1－sin20°2cos20°答案BD解析对于A，1－2cos275°＝－cos150°＝cos30°＝32，A错误；对于B，sin135°cos15°－cos45°cos75°＝sin45°sin75°－cos45°cos75°＝－cos120°＝12，B正确；对于C，∵tan45°＝1＝tan20°＋tan25°1－tan20°tan25°，∴1－tan20°tan25°＝tan20°＋tan25°，∴tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1，C错误；对于D，cos35°1－sin20°2cos20°＝cos35°（cos10°－sin10°）22（cos10°＋sin10°）（cos10°－sin10°）＝cos35°2（cos10°＋sin10°）＝cos45°cos10°＋sin45°sin10°2（cos10°＋sin10°）＝22（cos10°＋sin10°）2（cos10°＋sin10°）＝12，D正确；故选BD.角度2给值求值例2(1)已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝________.答案4－3310解析由题意可得cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝110，cos2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ＋π4＝1010＞0，θ∈0，π2，所以0＜θ＜π4，2θ∈0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.(2)(2021·常州一模)若23sinx＋2cosx＝1，则sin5π6－x·cos2x＋π3＝________.答案732解析由题意可得4sinx＋π6＝1，令x＋π6＝t，则sint＝14，x＝t－π6，所以原式＝sin(π－t)cos2t＝sint(1－2sin2t)＝732.角度3给值求角例3(1)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________.答案(1)π3(2)－3π4解析(1)∵0βαπ2，∴0α－βπ2，sinα＝437.又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0βπ2，∴β＝π3.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，又α∈(0，π)，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.感悟提升1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.训练1(1)cos20°·cos40°·cos100°＝________.答案－18解析cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.(2)若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＋2cos2α的值为________.答案0解析∵tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，∴tanα＝3或tanα＝13(舍)，则sin2α＋π4＋2cos2α＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＋2·1＋cos2α2＝22sin2α＋2cos2α＋22＝22(2sinαcosα)＋2(cos2α－sin2α)＋22＝22·2sinαcosαsin2α＋cos2α＋2·cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＋22＝22·2tanαtan2α＋1＋2·1－tan2αtan2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.(3)已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝________，2α－β＝________.答案17π3解析因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.考点三三角恒等变换的应用例4(2021·浙江卷)设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).(1)求函数y＝fx＋π22的最小正周期；(2)求函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上的最大值.解(1)因为f(x)＝sinx＋cosx，所以fx＋π2＝sinx＋π2＋cosx＋π2＝cosx－sinx，所以y＝fx＋π22＝(cosx－sinx)2＝1－sin2x.所以函数y＝fx＋π22的最小正周期T＝2π2＝π.(2)fx－π4＝sinx－π4＋cosx－π4＝2sinx，所以y＝f(x)fx－π4＝2sinx()sinx＋cosx＝2(sinxcosx＋sin2x)＝212sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π4＋22.当x∈0，π2时，2x－π4∈－π4，3π4，所以当2x－π4＝π2，即x＝3π8时，函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上取得最大值，且ymax＝1＋22.感悟提升三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.训练2已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，2π3上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈0，π3，求cos2x0的值.解(1)由f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1，得f(x)＝3(2sinxcosx)－(2cos2x－1)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，∴函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)＝2sin2x－π6在区间0，π3上为增函数，在区间π3，2π3上为减函数，又f(0)＝－1，fπ3＝2，f2π3＝－1，∴函数f(x)在0，2π3上的最大值为2，最小值为－1.(2)∵2sin2x0－π6＝65，∴sin2x0－π6＝35.又x0∈0，π3，∴2x0－π6∈－π6，π2，∴cos2x0－π6＝45.∴cos2x0＝cos2x0－π6＋π6＝cos2x0－π6cosπ6－sin2x0－π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.万能公式sinα＝2ta