微考点6-3 圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点6-3圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程00yykxx.④设直线为mkxy，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出k与m之间的关系，即可求出定点。题型一：圆锥曲线中直线过定点问题【精选例题】【例1】已知0,1P为椭圆C：222210xyabab上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标．【答案】(1)2214xy；(2)证明见解析.30,5【分析】（1）根据题意求出,,abc即可得解；（2）设1122,,,AxyBxy，分情况讨论，联立方程，利用韦达定理求出1212,yyyy，再根据直线PA与PB的斜率之积为1即可得出结论.【详解】（1）由点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为3可知12132c，解得：3c，2212babc，椭圆C的标准方程：2214xy；（2）设1122,,,AxyBxy，当直线l不平行于x轴时，设l方程为：xnyk，由l不经过点P知0nk【淘宝店铺：向阳百分百】由2244xnykxy得2224042nynkyk，222212124,44ynkknyyyn，121211,PAPByykkxx，1212111PAPByykkxx，12112122222212221111101412104nyknykyyyyyxxnnkknknkkynkn，530nkkn，3,50knnkQ，35xny，过定点30,5当直线l平行于x轴时，1212,1xxyy，设10x由122121121111PAPBykyyxxxk和C的方程联立解得12138,55yyx，l方程为：35y，过定点30,5综上，直线l必过定点30,5．【例2】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率22e，且椭圆C经过点21,2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点2,0P且斜率不为零的直线与椭圆C交于,BD两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q.【答案】(1)2212xy；(2)证明见解析【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线PB的方程为2xmy并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线AD的方程，求出点Q横坐标表【淘宝店铺：向阳百分百】达式即可得1,0Q.【详解】（1）由离心率可得22cea，将点21,2代入椭圆方程可得221121ab，又222abc；解得2221ab，所以椭圆C的方程为2212xy（2）设点11,Bxy，22,Dxy，则11,Axy，直线PB的方程为2xmy，直线PB与椭圆22:12xCy联立，消去x，得222420mymy（），则可得12242myym，12222yym，易知28160m，得22m由题意，直线AD的方程为212221()yyyxxyxx，令0y=，所以点Q的横坐标1221121212221Qxyxymyyxyyyy，所以直线AD与x轴交于定点1,0Q【跟踪训练】1．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为23，按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点，线【淘宝店铺：向阳百分百】段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线4x于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP、AQ的斜率分别为APk、AQk.（i）求证：APAQkk为定值；（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1)2214xy(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析，该定点的坐标为1,0【分析】（1）由折纸的对称性，可知423PEPFPAPEEF，从而确定点P的轨迹；（2）（i）设点11,Pxy，22,Qxy，4,Tm，根据斜率公式分别求出APk、AQk，结合椭圆方程证明；（ii）设直线PQ的方程为xtyn，直曲联立，结合韦达定理和（i）的结论求出n，根据直线方程即可求出定点.【详解】（1）由题意可知，423PEPFPAPEEF，故点P的轨迹是以E，F为焦点，且长轴长24a的椭圆，焦距223cEF，所以2221bac，因此轨迹C方程为2214xy.（2）证明：（i）设11,Pxy，22,Qxy，4,Tm，由题可知2,0A，2,0B如下图所示：则112APkyx，0426AQATmmkk，【淘宝店铺：向阳百分百】而1122BPBTymkkx，于是1122ymx，所以21111211112623234APAQyyyymkkxxxx，又221114xy，则2211144yx，因此212114141234ApAQxkkx为定值.（ii）设直线PQ的方程为xtyn，11,Pxy，22,Qxy，由2214xtynxy，得2224240tytnyn，所以12221222444tnyytnyyt.由（i）可知，112APAQkk，即121212121222212yyyyxxtyntyn，化简得22414161612nnn，解得1n或2n（舍去），所以直线PQ的方程为1xty，因此直线PQ经过定点1,0.【点睛】本题第二问（ii）解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合（i）的结论列方程可得.2．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点2,0A，3(1,)2B，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点（不与点B重合），1,0Q，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：（i）直线NC过定点，（ii）存在定点R，使PR为定值．【答案】(1)2214xy；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）设方程为221mxny0,0,mnmn，代入,AB点的坐标，得出方程组，求解即得.（2）（i）设MQ的方程为10xtyt，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出NC的方程为121112(yyyyxxxx，令0y，整理可得4x，即可得出定点；（ii）由已知可得QPPH，即可得出P的轨迹，得出答案.【详解】（1）设E的方程为221mxny0,0,mnmn，则41314mmn，解得141mn，所以E的方程为2214xy.（2）（i）依题意，直线MQ的斜率存在且不为0，设MQ的方程为10xtyt，设点11,Cxy，22,Mxy，则22,Nxy，由22144xtyxy消去x并整理得224230tyty，则2Δ16480t，12224tyyt，12234yyt，显然121223()tyyyy，直线NC的斜率1212NCyykxx，直线NC的方程为121112(yyyyxxxx，令0y，则112212111212yxxyxxyxxyyyy21211211ytytyyyy12121224tyyyyyy，所以直线NC恒过定点4,0.（ii）令直线NC过的定点4,0为点H，由0QPNC，P在NC上，得QPPH，则点P在以QH为直径的圆上，从而QH的中点5(,0)2R为定点，使PR为定值32.【点睛】思路点睛：设MQ的方程为10xtyt，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.题型二：圆锥曲线中圆过定点问题【淘宝店铺：向阳百分百】【精选例题】【例1】已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F，2F，T为椭圆C上任意一点，12TFF△面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知0,1A，过点10,2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点.【答案】(1)2212xy，(2)证明见解析(1)解：因为椭圆C的离心率为22，所以22ca.又当T位于上顶点或者下顶点时，12TFF△面积最大，即1bc.又222abc，所以1bc，2a.所以椭圆C的标准方程为2212xy.(2)解：由题知，直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为12ykx，设11,Mxy，22,Nxy，将直线l代入椭圆C的方程得：2242430kxkx，由韦达定理得：122442kxxk，122342xxk，直线AM的方程为1111yyxx，直线AN的方程为2211yyxx，所以11,01xPy，22,01xQy，所以以PQ为直径的圆为21212011xxxxyyy，整理得：221212121201111xxxxxyxyyyy.①因为121212222212121212412611114211284222xxxxxxyykxxkxxkkkkxkx，令①中的0x，可得26y，所以，以PQ为直径的圆过定点0,6.【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C：222210xyabab过点2,1，离心率为22，其左右焦点分别为1F，2F．(1)若点P与1F，2F的距离之比为13，求直线230xy被点P所在的曲线2C截得的弦长；(2)设1A，2A分别为椭圆1C的左、右顶点，Q为1C上异于1A，2A的任意一点，直线1AQ，2AQ分别与椭圆1C【淘宝店铺：向阳百分百】的右准线交于点M，N，求证：以MN为直径的圆经过x轴上的定点．【答案】(1)262；(2)证明见解析【分析】根据题意，利用1