2019全国百强校北京四中-人教B版必修五-第一章-解三角形-教学建议稿精品教育.doc

第1页解三角形（北京四中）一．新课标内容【课时安排】（8课时）建议：正弦定理（2课时）、余弦定理（2课时）、综合应用（3课时）、探究活动（1课时）【内容标准】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【教学提示】解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练二．教学建议1．注重过程教学中不要急于导出两个定理，从而陷入做题之中，还是要注重知识形成的过程，要知其然，也要知其所以然，在过程中得到对方法的掌握。我们在初中学过解直角三角形的有关知识：在直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，就是解直角三角形．我们还是以直角三角形入手看看其中的规律可否扩展到任意三角形（特殊到一般，猜想与证明）？如图：ABCRt中，角A、B、C的对应边为a、b、c，则有：caAsin，cbBsin，ccC1sin，（222sinsinsinABC，这个规律显然不能推广到斜三角形）即：Aacsin，Bbcsin，CCcsin，由此得到：CcBbAasinsinsin。斜三角形中上式是否成立呢？下面我们有不同的方法来验证一下。坐标法：以B为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，经过B、C作xyoA()BCＡＢＣabc┐第2页//BDAC、//CDAB，则(cos,sin)AcBcB，(0,0)B，(,0)Ca，则(cos,sin)BAcBcB，(cos,sin)BDbCbC∵四边形ABDC是平行四边形，∴BABDBC，∴coscossinsin0cBbCacBbCsinsincBbC，即：sinsinbcBC。同理可得：sinsinabAB，∴CcBbAasinsinsin。向量法：三角形ABC（锐角三角形举例）中，过C作与向量CB垂直的单位向量i，i与CA的夹角为C90，i与BA的夹角为B90。根据向量加法的三角形法则有：CBBACA，两边同取与向量i的数量积，有()iCBBAiCA，即：iCBiBAiCA，则有：||||cos90||||cos(90)||||cos(90)iCBiBABiCAC，即：CbBcsinsin，即：CcBbsinsin，同理可得BbAasinsin，几何法：三角形ABC（锐角三角形举例）中，经过A作BCAD于D，则sinsinADbCcB，即sinsinbcBC，同理可得sinsinabAB。新教材中三角形ABC（锐角三角形举例）中，经过A作BCAD于D，三角形的面积为S，则：CabADBCSsin2121，同理得到AbcSsin21，BacSsin21，得到：CcBbAasinsinsin；在这种方法中，我们可以得到另一个三角形的面积公式：我们仍然可以借助直角三角形得到正弦定理的比值，即正弦定理完整的表示为：利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：┐ＡＢＣabciＡＢＣabcＤ┐ＡＢＣabcＤ┐RCcBbAa2sinsinsin（其中R2是三角形外接圆的直径）第3页（１）已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；（２）已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。利用正弦定理一定要知道一组对边、角（比值），由此另外的情况可引出余弦定理已知：ABC中，aBC，bAC，及角C，求：角C的对应边c。坐标法：以B为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则(cos,sin)AcBcB，(0,0)B，(,0)Ca，即：2222cosbacacB向量法（新教材中）：三角形ABC中，∵ABCBAC，即：Cabbaccos2222（＊）（注意：推倒（＊）中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC与CB的夹角应为C，而不是C。钝角三角形情况与锐角三角形相同。对于直角三角形中2C时，0cosC，则222bac，恰好满足勾股定理。）几何法：如图：做ABC中BC边上的高AD，根据勾股定理有：222BDADAB∵ADCRt中，222CDACAD，CACCDcos，即:Cabbaccos2222。由上述两种方法得到上式对任意三角形都成立，从而得到以下定理：余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：解决了已知三角形的两条边及夹角，求第三条边的问题，第二个问题：“已知三角形的三条边，求其三个角”，不难看出，由上式变形可得：因此利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（１）已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；（２）已知三角形的三条边，求其三个角。ＡＢＣabcxyoA()BCＡＢＣabcＤ┐第4页2．培养能力习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．我们也可以开放性的引导学生，需要已知几个元素才能够得到其他元素？一个元素（角、边）？两个元素（两个角、两条边、一角一边）？三个元素（三个角、三条边、两角一边、两边一角）？与初中两个三角形全等的条件是否一致？SSS，SAS，ASA等等。由此引出正弦定理、余弦定理内容及适用的范围。例1．ABC中，3a，2b，45B，求：角,AC及边c。解：利用正弦定理：sinsinabAB3sinsin24aABb，此时出现了问题，即：3sin214A，这样角是不存在的，则此题无解。分析原因：如图，45B，3aBC，过C作CABA与A，此时3222ACb，即C点到BA的最小距离都大于2，则满足3a，2b，45B的三角形不存在。显然：当3a，322b，45B时，这样的三角形只有一个；当3a，3232b，45B时，这样的三角形有两个；当3a，3b，45B时，这样的三角形又只有一个。例2．锐角ABC中，若2BA，则ba的取值范围是___________。解：根据正弦定理：sinsin22cossinsinbBAAaAA，∵ABC为锐角三角形，∴02022032ABACA64A，3．强化思考要求学生多问问自己几个“为什么”，这种自问是提高能力的一种办法。BCA第5页例3（2019年北京卷（理））在ABC中，3a，26b，2BA．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求边c的值．解：（Ⅰ）∵3a，26b，2BA，∴在ABC中，由正弦定理得326sinsin2AA，∴2sincos26sin3AAA，故6cos3A；（Ⅱ）由（Ⅰ）知6cos3A，所以23sin1cos3AA，又因为2BA，所以21cos2cos13BA，所以222sin1cos3BB.在ABC中，53sinsin()sincoscossin9CABABAB，由正弦定理sinsinacAC，sin5sinCcaA．4．关注联系遇到已经学过的知识，要及时的反复，加深学生的印象。例4．已知：圆内接四边形ABCD的边长分别为2AB，6BC，求：四边形ABCD的面积。38例5．已知：ABC中，BABA22sinsintantan，试判断ABC的形状。（等腰或直角三角形）例6．已知：ABC中，角A、B、C，对应边a、b、c，求证：BcCbacoscos。（正弦、余弦、几何）三．应用与探究解三角形本身就可以看做三角函数的应用，因此，还是应该从实际应用出发，课本本身也是有台风的变化、船只的追击等等问题入手，从引出正弦定理、余弦定理的推导，最后应该回到实际问题上。秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即222222142cabSca．ABCD第6页“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．22221sin4ScaB222221[cos]4cacaB，利用余弦定理222cos2cabcaB，则2222222142cabSca，从而可知222222142cabSca即：ABC的面积()()()Sppapbpc（其中2abcp）．可要求学生完成测量不可达两点之间的距离，作为研究性学习的报告。四．高考的情况（14北京理）如图，在ABC中，3B，8AB，点D在BC边上，且2CD，1cos7ADC．（Ⅰ）求BADsin；（Ⅱ）求ACBD,的长．（15北京理）12．在ABC中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．1（16北京理）已知：ABC中，2222acbac．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求2coscosAC的最大值．（17北京理）已知：ABC中，60A，37ca．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若7a，求ABC的面积．（17浙江）ABC中，4ABAC，2BC．若点D为AB延长线上一点，2BD，连结CD，则BDC的面积是_______，cosBDC_______．152,104（16上海理）已知ABC的三边长分别为3、5、7，则该三角形的外接圆半径等于________．337（15湖北理）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600米后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，第7页仰角为30，则此山的高度CD______米．6100附录：得到不可达两点之间的距离活动记录表活动开始时间：_______________（1）成员与分工姓名分工（2）选定的不可达两点的状态描述（可附照片，下同）（3）活动方案（包括测量原理、创新点描述等）（4）活动工具描述（包括自制工具制作的步骤等）（5）活动过程中记录的数据（6）根据数据计算结果（7）活动总结（包括误差分析、活动感受等）活动结束时间：_______________注意安全