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第1页(共19页)二次函数最大利润应用题参考答案与试题解析1.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?【解答】解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,∵y=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),∴∴,∴这个一次函数的表达式为;y=﹣0.2x+60(0≤x≤90);(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,∵经过点(0,120)与(130,42),∴,解得:,∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120(0≤x≤130),设产量为xkg时,获得的利润为W元,当0≤x≤90时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣(﹣0.2x+60)]=﹣0.4(x﹣75)2+2250,∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;当90≤x≤130时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣42]=﹣0.6(x﹣65)2+2535,由﹣0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,∴90≤x≤130时,W≤2160,∴当x=90时,W=﹣0.6(90﹣65)2+2535=2160,因此当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大值为2250.第2页(共19页)2.某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式:y=.(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)如图,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【解答】解:(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知:30n+120=420,解得n=10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得,当0≤x≤9时,p=4.1;当9≤x≤15时,设P=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入得,,解得,∴p=0.1x+3.2,①0≤x≤5时,w=(6﹣4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513(元);②5<x≤9时,w=(6﹣4.1)×(30x+120)=57x+228,∵x是整数,∴当x=9时,w最大=741(元);③9<x≤15时,w=(6﹣0.1x﹣3.2)×(30x+120)=﹣3x2+72x+336,∵a=﹣3<0,∴当x=﹣=12时,w最大=768(元);综上,当x=12时,w有最大值,最大值为768.(3)由(2)可知m=12,m+1=13,设第13天提价a元,由题意得,w13=(6+a﹣p)(30x+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)﹣768≥48,解得a=0.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.第3页(共19页)3.近期,海峡两岸关系的气氛大为改善.大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售.某经销商销售了台湾水果凤梨,根据以往销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系:每千克销售(元)40393837…30每天销量(千克)60657075…110设当单价从40元/千克下调了x元时,销售量为y千克;(1)写出y与x间的函数关系式;(2)如果凤梨的进价是20元/千克,若不考虑其他情况,那么单价从40元/千克下调多少元时,当天的销售利润W最大?利润最大是多少?(3)目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于32元/千克,问一次进货最多只能是多少千克?(4)若你是该销售部负责人,那么你该怎样进货、销售,才能使销售部利润最大?【解答】解:(1)y=60+5x(2)w=(40﹣x﹣20)y=﹣5(x﹣4)2+1280∴下调4元时当天利润最大是1280元(3)设一次进货m千克,由售价32元/千克得x=40﹣32=8,此时y=60+5x=100,∴m≤100×(30﹣7)=2300,答:一次进货最多2300千克(4)下调4元时当天利润最大,由x=4,y=60+5x=80,m=80×(30﹣7)=1840千克∴每次进货1840千克,售价36元/千克时,销售部利润最大.第4页(共19页)4.某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其它费用为106元(不包含债务).(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收人=支出),求该店员工的人数;(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?【解答】解:(1)当40≤x≤58时,设y与x的函数解析式为y=k1x+b1,由图象可得,解得.∴y=﹣2x+140.当58<x≤71时,设y与x的函数解析式为y=k2x+b2,由图象得,解得,∴y=﹣x+82,综上所述:y=;(2)设人数为a,当x=48时,y=﹣2×48+140=44,∴(48﹣40)×44=106+82a,解得a=3;第5页(共19页)(3)设需要b天,该店还清所有债务,则:b[(x﹣40)•y﹣82×2﹣106]≥68400,∴b≥,当40≤x≤58时,∴b≥=,x=﹣时,﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180,∴b,即b≥380;当58<x≤71时,b=,当x=﹣=61时,﹣x2+122x﹣3550的最大值为171,∴b,即b≥400.综合两种情形得b≥380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元.5.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,第6页(共19页)将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,wA=6x﹣x=5x;wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,第7页(共19页)此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,wA=6x﹣x=5x;wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.6.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式.(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?【解答】解:(1)由题意得出:w=(x﹣20)∙y=(x﹣20)(﹣2x+80)=﹣2x2+120x﹣1600,故w与x的函数关系式为:w=﹣2x2+120x﹣1600;(2)w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200,∵﹣2<0,∴当x=30时,w有最大值.w最大值为200.答:该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.(3)当w=150时,可得方程﹣2(x﹣30)2+200=150.第8页(共19页)解得x1=25,x2=35.∵35>28,∴x2=35不符合题意,应舍去.答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.7.某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?【解答】解:(1)根据表格中数据可得出:y与x是一次函数关系,设解析式为:y=ax+b,则,解得:,故函数解析
本文标题:二次函数最大利润应用题(含答案)
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