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1§20-2对称性群一、对称性群及表示空间1.对称性群设系统的Hamiltonian为,则使所有不变的空间变换构成一个群{Q},这个群称为这个系统的空间对称变换群,或对称性群,又称Schrödinger方程群。HˆHˆ22.表示空间设的本征值和本征函数均为已知,本征值为,相应的本征函数为,简记为,)(ri1,2,idHˆ)2,1(nEn)(rni函数张成的一个本征子空间,维数为d,相应的本征值为nEiHˆ为本征值的简并度dnE3iniiQDEHQDQDH)(ˆˆ)(ˆ)(ˆˆ即也是的本征函数,而且也在本征子空间中,可以写成:HˆiQD)(ˆ)()(ˆQDQDjijji此式证明,对于所有的,与对易,有Q)(ˆQDHˆHˆ的每一个本征子空间都是其对称性群的一个表示空间。43.两个例子例1:碱金属原子的价电子是在与库仑场略有不同的中心力场(球对称)中运动,其具有转动对称性,对称性群是正当转动群SO(3)。对应于本征值HˆnlE的本征函数(一定)ln,),()()(lmnlnlmYrRrlllm,,1,是2l+1重简并的,这个2l+1维的本征子空间正是SO(3)群的2l+1维不可约表示的表示空间。)(lD5例2:氢原子的电子所处的外场是严格的库仑场,也具有转动对称性,的本征值为En,是n2重简并的,相应的本征函数为(n一定)Hˆ),()()(lmnlnlmYrRrlllmnl,,1,1,,2,1,0简并度:102)12(nlnl这个本征函数也是SO(3)群的一个n2维表示的表示基矢。但表示是可约的:)(D1210nDDDDD6二、本征子空间的荷载表示研究表明:系统哈密顿属于任一本征值的本征子空间,都荷载着其对称性群的一个不可约表示。明显而系统的荷载着空间对称性群的可约表示的例子有氢原子和三维各向同性的谐振子。合理解释:的对称变换没有找全,已经找到的对称性群只是真正的对称性群的一个子群,把其余的对称变换找出来补上去,对所得的更大的对称性群来说,每个本征子空间所荷载的表示,就都成为不可约表示了。Hˆ7动力学对称性:哈密顿在空间变换对称性之外,还有一些新的对称性,称为动力学对称性。它使空间对称性群扩大:对氢原子,SO(3)→SO(4)对谐振子,SO(3)→SU(3)几何学对称性:空间转动等空间变换的对称性。8§20-3微扰对能级简并的影响一、微扰对对称性的影响若所加微扰不影响系统的对称性,即微扰的对称性群大于或等于的对称性群,则新哈密顿的对称性与原来的一样,尽管能级的数值会发生变化,但各能级的简并情况并不会改变。若微扰的对称性小于原来系统的对称性,即微扰的对称性群是原来系统的对称性群的一个子群,那么,新哈密顿量的对称性就要降低为微扰的对称性,各能级的量值和简并情况要发生变化,根据对称性可以确切地知道简并度改变的情况。9例如:Sodium(Na)Dlines10二、对称性的改变对简并度的影响1.O群和SO(3)群:O群:正立方体群(Orthogonal),正方体的对称性,24个操作,共5类E:单位元8C3:绕对角线转120度(双向等价)2334,4CC6C2:绕相对两棱中点连线转180度3C2:绕相对两面中点连线转180度(即)243C6C4:绕相对两面中点连线转90度(双向等价)3443,3CC11O群的特征标表共有5个不可约表示,T1—T5,维数平方和:242524232221lllll121ll23l354ll维数:12SO(3)群:空间转动群。O群相应元在SO(3)群中的特征标表…13简并度:价电子的能级:2.钠金属原子对称性与简并度原子单独存在时:nlE)12(l每一能级的本征子空间都是SO(3)群的一个不可约表示处于正立方格子的晶体中:对称性降低,变为O群,每一能级的本征子空间现在是O群的表示空间,但是它们荷载的表示有的变成了可约表示。若约化为两个不可约表示,则两者应属于不同的本征值,即能级发生分裂。两者的简并度之和等于原来的简并度。如图14简并度为5简并度为3简并度为2由两群的特征标表可知:)0(D)1(D(1)和简并没有改变,分别仍为不简并和3重简并。)1(D4T)1(D的特征标与一样,所以仍为不可约表示)(因为542)3(TTTD5431)5(TTTTD(2)3T5T53)2(TTD)2(D:(因为的特征标是和之和)7重简并的能级分裂为3个能级,分别为1,3,3重简并。9重简并的能级分裂为4个能级,分别为1,2,3,3重简并。5重简并的能级分裂为两个能级,分别为2重和3重简并。15§20-4动力学对称性一、守恒量LRL矢量氢原子的纯库仑场的哈密顿ramPH2ˆˆ2)4(02ea应具有比空间转动群SO(3)更大的对称性。在经典力学中,Laplace-Runge-Lenz矢量rmarLPM1在行星运动过程中LRL矢量守恒。16二、哈密顿的对称性厄米的RL算符为:NPLLPM)(21ma可写为:NPLPM)(1ima可以推得:0],[MH在氢原子的一个能级为)0(EE的本征子空间中,MK)(22Ema构造新的矢量17由(20.20)LMMHmai22LKKEmaimaE222)(2则LKKi即从而有对易关系kkijkjiLiKK],[由(19.46)VmnVmL,ni][得kkijkjiKiKL][,又知kkijkjiLiLL][,L和K的6个分量算符构成了封闭的对易关系,它们可以生成一个6参数的连续群,这就是氢原子哈密顿量的更大的对称性群。18把6个分量算符作一个重新线性组合,生成元作线性组合后,生成的群并不发生改变。令)(211KLJ)(212KLJ则有0],[21jiJJji,任意0],[121JJkkijkjiJiJJ111],[0],[222JJkkijkjiJiJJ222],[(20.29)19矢量算符A与L满足0AL有0KL则)(41222221KLJJ如果满足对易关系(20.29),则它们分别独立地生成一个SU(2)群,其群元可以用Hilbert空间的算符来表示,分别是:21J,J)(211111)(KLnJn111iieenD)(222222222)(KLnJniieenD200],[MH0],[LH0],[1JH0],[2JH所以都是守恒量。对应的对称性群是两个SU(2)群的直积群。21J,J)2()2(SUSU由及得而空间转动群SO(3)是这个更大对称性群的一个子群,它的群元Lnie生成元的重新组合已经拆散分属于两个SU(2)群。群和SO(4)群同构。)2()2(SUSU21三、氢原子对称性群不可约表示的维数两个群的直积群的不可约表示,是这两个群不可约表示矩阵的直积矩阵,而直积矩阵的维数,是两个矩阵的维数之积。SU(2)群的全部不可约表示为:),('baDjmm[(22.34)式]或)('jmmD[(22.38)式]式中,2/3,1,2/1,0j表示的维数是12jmm,jjjj,1,,1,取值为12j共个值。),(ba)(和分别是2D和3D的自变量。)2()2(SUSU的不可约表示:)()()(221122112121baDbaDbabaDjjjj22其维数为)12)(12(21jj由于2221JJj是J2的量子数,有jjj21则)()()(221122112baDbaDbabaDjjj这是氢原子对称性群的全部不可约表示,其维数为(2j+1)2令2j+1=n,则不可约表示的维数为n2,n=1,2,3…正是氢原子各能级的简并度。23空间转动对称性不是氢原子的全部对称性,守恒量LRL矢量带来了更多的对称性,二者合在一起是一个大的对称性群,这个大群的不可约表示的维数正好与各能级的简并度相同,证实了能级的简并度等于其对称性群的不可约表示的维数。)2()2(SUSU24这一本征子空间为25维,基函数是{ψ5lm},这个空间本来是大群的不可约表示空间,但是作为子群SO(3),这个25维空间就是可约的了。25维的可约表示约化成不可约表示的直和只有一种方式,即以为基矢的本征子空间并不是大群的表示空间,)(rnlm975312543210DDDDDD所以约化方式为0l1l其中右边第一项,第二项,…。而只是空间转动群SO(3)的表示空间。以n=5的能级为例25四、氢原子的能级公式利用RL矢量以及有关公式,可以得出氢原子的能级公式。由(20.30)式)(41222221KLJJ得)2(21)(21222222221MEmaLKLJJ]1)(2[22122222LHmaEmaL]2)(1[212222EmaLHEL26将上式作用于H的能级为E的本征子空间中的矢量则EH22221)1(jjJJ所以]2)([21)1(222222EmaLEELjj即)2(21)1(2222Emajj其中2024216ea222024)12(132jmeE,23,1,21,0j)12(j可取1,2,3,…各值上式为222024132nmeEn,3,2,1n即氢原子的能级公式27§21时间平移和时间反演§21-1时间平移一、量子力学中的时空观在量子力学中,系统或粒子的空间坐标是物理量,有厄米算符与之对应,有本征值和本征矢量,但是时间却不是物理量,没有算符与之对应,它在理论中的地位只是一个实数参数,所以系统的哈密顿量在时间变换方面的不变性或对称性,与对空间变换的不变性是不完全一样的。28二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用在位置表象中1.时间平移算符及对态函数的作用设系统处于某一含时态中,其态函数满足Schrödinger方程),()(ttr)(),ˆˆ(ˆ)(ttHttiP,R态的时间平移态是一个运动变化完全与相同,但全面推迟时间发生的态,即)(t)(t)(t)()(tt)()(tt29定义为作用于时间参量上的时间平移操作,即)(QttQ)(定义为作用于时间函数上的时间平移算符,这是一个函数空间上的幺正算符,其对函数的作用可写为)(ˆD),(])(,[),()(ˆ),(1ttQtDtrrrr2.时间平移算符对其他算符的作用Hilbert空间中的算符的时间平移为),ˆˆ(ˆtAP,R),ˆˆ(ˆtAP,R)(),ˆˆ(ˆ)(ˆ),ˆˆ(ˆ1DtADtAP,RP,R))(,ˆˆ(ˆ1tQAP,R),ˆˆ(ˆtAP,R30不显含时间的算符不受时间平移的影响,如RRRˆ)(ˆˆ)(ˆˆ1DDPPPˆ)(ˆˆ)(ˆˆ1DD用时间平移算符)(ˆD作用于Schrödinger方程两边:)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)()(ˆ)(ˆ)(ˆ11tDDHDtDDtDi即)()(ˆ)(ttHtti此式一般来说与原来Schrödinger方程不同,因为)(ˆtH不一定与相同,因此不一定是系统一个可能实现的状态。)(ˆtH)(t31三、哈密顿具有时间平移对称性的情况具有时间平移对称性,即如果系统的Hˆ)(ˆ)(ˆtHtH对一切成立,则Schrödinger方程任何状态的时间平移态也是系统的一个可能的状态,)()(ˆ)(ttHtti哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间,不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量,因此说:系统的哈密顿如果具有时间平移的不
本文标题:高量9--对称性群
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