立体几何的解题方法

情感目标：巩固和加深对立体几何的认知；锻炼同学们的团队合作能力指导老师：钟萍组长：李文聪组员：王官谊邓颖何圆桂李薇许德蓉梁悦尹绍婧基本概念数学上，立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称。立体几何一般作为平面几何的后续课程，暂时在人教版数学必修二、选修2~1中出现。立体测绘是处理不同形体的体积的测量问题。立体几何图形表面积体积立体几何点线面基本概念与向量的关系简单几何体的分类简单的几何体柱体锥体球体圆柱棱柱圆锥棱锥下面是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征。正视图侧视图俯视图根据三视图想像物体原形，并画出物体的示意图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝V＝＝圆锥S侧＝V＝＝＝13πr2l2－r22πrhShπr2hπrl13Sh13πr2h圆台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝V＝π(r1＋r2)lChSh正棱锥S侧＝V＝正棱台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝V＝12Ch′13Sh12(C＋C′)h′4πR243πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、;它们的表面积等于.各面面积之和矩形扇形扇环形侧面积与底面面积之和一、空间几何体的三视图例1（2009·潍坊模拟）下图是一个几何体的三视图，侧（左）视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），可知这个几何体的表面积是（）A.（18+）cm2B.cm2C.（18+）cm2D.（6+）cm2思维启迪根据三视图确定原几何体及其有关数据，然后由公式求其表面积.解析由三视图可得几何体是一个正三棱柱.正三棱柱的高为3，底面边长为2.∴S表=2×3×3+×22×2=18+(cm2)故选C.答案C2321332324332探究提高（1）解答此类问题，首先由三视图想象出几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量，进而求得表面积或体积.（2）掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向.变式训练1（2009·山东，4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.解析该空间几何体为一圆柱体和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为,所以该几何体的体积为.答案C3223243322332433232312332223二、几何体的表面积和体积例2如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽BAD.（1）求线段PD的长；（2）若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.思维启迪（1）可根据条件得到AB、AD的长，再由相似三角形的性质求得PD的长.（2）求三棱锥P-ABC的体积只须证明PD⊥面ABCD，即PD为三棱锥的高即可求解.11△△解(1)∵BD是圆的直径∴∠BCD=90°.又∵△ADP∽△BAD，∴(2)在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=R∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2∴PD⊥CD,又∵∠PDA=∠DAB=90°BAADDPADDPBAAD2,故.321243430sin)60sin(22RRRBDBD2∴PD⊥底面ABCD∵S△ABC=AB·BCsin(60°+45°)=R×∴三棱锥P-ABC的体积为VP-ABC=×S△ABC×PD=×探究提高（1）求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题，对三棱锥，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上.（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变化为规则几何体，易于求解.21212413)22212223(2RR3131.413341332RRR三、球与多面体例3在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是()解析正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有公共点,与棱无公共点.B如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．解方法一连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高．平行关系常见的平行关系•（1）平行于同一条直线的两条直线平行。••（2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行。••（3）如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线和交线平行。••（4）如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个平面的交线平行。••（5）两平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。••（6）平面外一条直线平行与平面内一条直线，则该直线与此平面平行。••（7）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。•（8）平面外两条平行线，如果其中一条平行于该平面，则另一条也与此平面平行。••（9）一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则两个平面平行。••（10）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。••（11）垂直于同一条直线的两个平面平行。••（12）同时平行于第三个平面的两个平面平行。一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；◆垂直于同一个平面的两条直线平行在三棱锥p-ABQ中，PB垂直于平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQAP,BP的终点，AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连结GH求证:AB//GH证明：因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，所以EF//AB,DC//AB所以EF//DC又EF不属于平面PCD,平面EFQ,DC属于平面PCD,所以EF//平面PCD又EF属于平面EFQ,平面EFQ交平面PCD于GH,所以EF//GH,又EF//AB,所以AB//GH正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC证明：连接AN并延长交BC于Q，连接PQ∵AD∥BQ∴△AND∽△QNB∴NQ/AN=NB/DN=BQ/AD=5/8又∵MA/PM=ND/BN=8/5∴MP/AM=NQ/AN=5/8∴MN∥PQ又∵PQ在平面PBC上，MN不在平面PBC上∴MN∥平面PBC正方体ABCD-A1B1C1D1中。（1）求证，平面A1BD||平面B1D1C1。（2）若E,F分别是AA1，CC1的中点，求证平面EB1D1||平面FBD【一】因为：A1B//D1C，则：A1B//平面B1D1C同理可证：A1D//平面B1D1C又：A1B、A1D是平面A1BD内的两条相交直线，则：平面A1BD//平面B1D1C【二】和上例类似，可以证明：1、BD//平面EB1D12、四边形BFD1E是平行四边形，则：BF//D1E，从而：BF//平面EB1D1因BD、BF是平面BDF内两相交直线，则：平面FBD//平面EB1D1求证：若一条直线分别和两个相交平面平行，则这条直线必与它们的交线平行【探究】首先将文字叙述的条件及结论转化成数学符号，利用两个辅助平面得到与a平行的直线，通过传递得到结论.已知：a∥α，a∥β,α∩β=b.求证：a∥b.证明：设A∈α,且Ab,过直线a和点A作平面γ交平面α于直线c，如图∵a∥α,aγ,α∩γ=c∴a∥c(直线和平面平行的性质定理).再设B∈β,且Bb，同样，过直线a和点B的平面δ交平面β于直线d.∵a∥β,∴a∥d(直线和平面平行的性质定理).∴d∥c.又∵dβ,cβ,∴c∥β(直线与平面平行的判定定理).又∵cα,α∩β=b,∴c∥b(直线与平面平行的性质定理).从而a∥b.【规律总结】如果已知条件是“线面”平行，欲证的结论是“线线平行”，那么就将“线面平行”向“线线平行”转化，通常可以利用线面平行的性质定理，作辅助平面得到某条或某几条“面面的交线”来实现这种转化.线面平行证明“三板斧”•第一斧：从结论出发，假定线面平行立，利用线面平行的性质，在平面内找到与已知直线的平行线。•第二斧：以平面外的直线作平行四边形•第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。如何判定两平面平行？1、一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两平面平行；2、垂直于同一直线的两平面平行；3、一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行。空间中的垂直关系①若直线l垂直于平面α，那么直线l垂直于这个平面内的所有直线（线线垂直）②一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线面垂直）③一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（面面垂直）线线垂直的证明⒈所成的角是直角，两直线垂直⒉垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条⒊三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。例题推理模式例题如图1-109，底面是等腰三角形，侧面都是矩形的几何体中，侧面对角线A1B⊥AC1．且A1C1=B1C1．求证：A1B⊥B1C答案证明：在底面A1B1C1中，作C1D1⊥A1B1于D1，C1A1=C1B1，则A1D1=D1B1，又侧面都是矩形，有AA1∥BB1∥CC1在下底面ABC中，作CD⊥AB于D，则AD=DB，同理得CD⊥面A1ABB1连D1A，B1D，显然D1A∥B1D∵D1A是C1A在面A1ABB1内的射影，又A1B⊥AC1(已知)，由三垂线定理的逆定理得A1B∥D1A∵D1A⊥B1D，∴A1B⊥B1D又B1D是B1C在面A1ABB1内的射影，A1B⊥B1D，由三垂线定理，知B1C⊥A1B．线面垂直的证明1.直线与平面内两条相交直线垂直2.两直线平行，一直线与一平面垂直，则另一直线也与该平面垂直3.两平面垂直，其中一平面中的直线垂直于两平面的交线，则该直线垂直于另一平面4.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面则该直线也垂直于另一个平面例题例题：如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点。证明：AD⊥平面DEF答案证明：取AD的中点G，又PA=PD，∴FG⊥AD，由题意知ΔABD是等边三角形，∴BG⊥AD，又PG，BG是平面PGB的两条相交直线∴AD⊥平面PGD∵EF∥PB,DE∥GB∴平面DEF∥平面PGB∴AB平面DEF；面面垂直的证明通常是利用线面垂直去证明面面垂直。因此首先要找到一个平面的垂线；并且这条垂线要在另一个平面内。即如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。（面面垂直判定定理）例题例题：如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD答案（1）解：PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°（2）证明：取PD中点E，连结EN，EA，则ENCDAM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面M