高中数学选修2-1充分必要条件讲义(教师版)

充分必要条件知识讲解一、充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件充分条件：一般的，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．记作：pq必要条件：一般的，“若q则p”为真命题，是指由q通过推理可以得出p．记作：pq2.充要条件定义：一般的，如果既有pq，又有qq，记作pq．此时，说p是q的充分必要条件，简称充要条件．3.充分条件、必要条件、充要条件理解（1）从逻辑推理关系上看①若pq，但qp，则p是q的充分而不必要条件；②若qp，且pq，那么p是q的必要不充分条件；③若pq，但qp（或pq且pq），则p是q的充要条件；④若pq，且qp，则p既不是q的充分不必要条件．（2）从集合与集合之间关系看①若AB,则A是B的充分而不必要条件；②若AB，，那么A是B的必要条件；③若AB，则A是B的充要条件；④若ABBA，，则A既不是B的充分不必要条件．1典型例题一．选择题（共20小题）1．（2018•孝义市一模）“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=﹣1时，满足x≠0，当x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，即“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：B．2．（2017秋•延安期末）“x＞1”是“x＞3”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=2满足x＞1，但x＞3不成立，当x＞3时，x＞1成立，即“x＞1“是“x＞3”的必要不充分条件，故选：B．3．（2018•天津）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，2则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．4．（2018•天心区校级一模）“|x﹣2|＜5”是“﹣3≤x≤7”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣2|＜5得﹣5＜x﹣2＜5，得﹣3＜x＜7，则“|x﹣2|＜5”是“﹣3≤x≤7”的充分不必要条件，故选：A．5．（2018•北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．6．（2018•乌鲁木齐模拟）设p：0＜x＜1，q：2x≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：q：2x≥1，解得x≥0．3又p：0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．故选：A．7．（2018•平遥县校级模拟）设a＞0且a≠1，则“logab＞1”是“b＞a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由logab＞1得logab＞logaa，若0＜a＜1，则b＜a，若a＞1，则b＞a，即充分性不成立，若0＜a＜1时，若b＞a，则logab＜logaa=1，即必要性不成立，则即“logab＞1”是“b＞a”的既不充分也不必要条件，故选：D．8．（2018•绵阳模拟）在△ABC中，“C=𝜋2”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“C=𝜋2”⇔“A+B=𝜋2”⇔“A=𝜋2﹣B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=𝜋2，或A=𝜋2+B，“C=𝜋2”不一定成立，∴A+B=𝜋2是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．9．（2018•河南二模）设𝑎→，𝑏→为两个非零向量，则“𝑎→•𝑏→=|𝑎→•𝑏→|”是“𝑎→与𝑏→共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件4C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若𝑎→•𝑏→=|𝑎→•𝑏→|，则|𝑎→|•|𝑏→|cos＜𝑎→，𝑏→＞=|𝑎→||𝑏→||cos＜𝑎→，𝑏→＞|，即cos＜𝑎→，𝑏→＞=|cos＜𝑎→，𝑏→＞|，则cos＜𝑎→，𝑏→＞≥0，则𝑎→与𝑏→共线不成立，即充分性不成立．若𝑎→与𝑏→共线，当＜𝑎→，𝑏→＞=π，cos＜𝑎→，𝑏→＞=﹣1，此时𝑎→•𝑏→=|𝑎→•𝑏→|不成立，即必要性不成立，故“𝑎→•𝑏→=|𝑎→•𝑏→|”是“𝑎→与𝑏→共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．10．（2018•辽阳一模）“常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m=±√2×8=±4．故m=±4是m=4的必要不充分条件，故选：B．11．（2018•道里区校级三模）钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．∴：“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．故选：A．512．（2018•洛阳三模）“lgm＞lgn”是“(12)𝑚＜(12)𝑛”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“lgm＞lgn”⇔m＞n＞0．(12)𝑚＜(12)𝑛⇔m＞n．∴“lgm＞lgn”是“(12)𝑚＜(12)𝑛”的充分不必要条件．故选：C．13．（2018•西安二模）设a，b都是不等于1的正数，则“loga2＜logb2”是“3a＞3b＞3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由loga2＜logb2，得𝑙𝑔2𝑙𝑔𝑎＜𝑙𝑔2𝑙𝑔𝑏，∴1𝑙𝑔𝑎＜1𝑙𝑔𝑏，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，∴“loga2＜logb2”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．故选：C．14．（2018•铁东区校级二模）已知命题p，q，“￢p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“￢p为真”，则p为假，“p∧q为假”，6若“p∧q为假”，则可能p真q假，则“￢p为真”不成立，故“￢p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选：A．15．（2018•石家庄模拟）设a＞0且a≠1，则“logab＞1”是“b＞a”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件【解答】解：设a＞0且a≠1，由logab＞1，可得：𝑙𝑔𝑏𝑙𝑔𝑎＞1，①若0＜a＜1，则lgb＜lga，∴0＜b＜a＜1．②若1＜a，则lgb＞lga，∴b＞a＞1．∴“logab＞1”是“b＞a”的既不充分也不必要条件．故选：C．16．（2018•蚌埠一模）“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a、b不相交”时，“直线a、b为异面直线或平行直线”，故“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线或平行直线”的必要不充分条件，故选：B．17．（2018•甘肃模拟）向量𝑎→=（m，1），𝑏→=（1，m），则“m=1”是“𝑎→∥𝑏→”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件7C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：𝑎→∥𝑏→⇔m2﹣1=0，解得m=±1．∴“m=1”是“𝑎→∥𝑏→”的充分必要条件．故选：A．18．（2018•大观区校级模拟）“p∨q为假”是“p∧q为假”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：p∨q为假⇔p，q均为假，则p∧q一定为假，若p∧q为假，则p，q至少有一个为假，则p∨q为真或假都有可能，∴“p∨q为假”是“p∧q为假”的充分不必条件．故选：A．19．（2017秋•珠海期末）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．1𝑎＜1𝑏B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a＞b+1【解答】解：若a＞b+1，则a＞b成立，反之当a＞b时，a＞b+1不成立，即使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b+1，故选：D．20．（2018春•沙市区校级期中）a＜0，b＜0的一个必要条件为（）A．a+b＜0B．a﹣b＜0C．𝑎𝑏＞1D．𝑎𝑏＜−1【解答】解：当a＜0，b＜0，a+b＜0成立，即A满足条件．当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0不一定成立，即B不满足条件．8当a＜0，b＜0时，𝑎𝑏＞1不一定成立，即C不满足条件．当a＜0，b＜0时，𝑎𝑏＜−1不一定成立，即D不满足条件．故选：A．二．填空题（共6小题）21．（2017春•广陵区校级月考）“a＞b”是“3a＞3b”的.充要条件．【解答】解：3a＞3b⇔a＞b．∴“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件．故答案为：充要．22．（2016春•扬州校级期中）命题“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．【解答】解：x=π⇒sinx=0，反之不成立，例如取x=0，满足sinx=0．∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．23．（2017秋•苏州期末）“m=9”是“m＞8”的充分不必要条件（填：“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）【解答】解：当m=9时，满足m＞8，即充分性成立，当m=10时，满足m＞8，但m=9不成立，即必要性不成立，即“m=9”是“m＞8”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．24．（2017•启东市校级模拟）“a=0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件．9【解答】解：当a=0时，复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数不一定成立，故a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的不充分条件当复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数时，a=0成立故a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要条件故a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件故答案为：必要不充分25．（2016•南昌县自主招生）x＞1是1𝑥＜1的充分不必要条件条件．【解答】解：∵x＞1⇒1𝑥＜1成立，∴充分性成立；而1𝑥＜1⇔1−𝑥𝑥＜0⇔x＜0或x＞1，即1𝑥＜1不能推出x＞1，∴必要性不成立；∴x＞1是1𝑥＜1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．26．（2016春•海门市校级期中）“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件．【解答】解：由|x|=|y|，解得x±y=0，∴“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．三．解答题（共3小题）27．已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3，分别写出y＞0（x∈R）的一个充分不必要条件及其充要条件．【解答】解：若函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3＞0，10①a=1时：3＞0，成立，a=﹣1时，不成立，②a2﹣1≠0时：则{𝑎2−1＞0△=(𝑎−1)2−12(𝑎2−1)＜0，解得：a＞1或a＜﹣1311，综上：其充要条件是：a≥1或a＜﹣1311，一个充分不必要条件是：a≥1．28．在下列各题中，p是q的什么条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的边相等．（2）p：t≠3，q：t2≠9．（3）p：x＞y．q：1𝑥＜1𝑦