2.3确定二次函数的表达式-(1)

2.3确定二次函数表达式用待定系数法求二次函数的解析式一、一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。例1已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2）（0，5）三点，求抛物线的解析式解：由题意可得：｛4a+2b+c=1①a+b+c=-2c=5解之得：｛a=5b=-12c=5所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.练已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？oxy解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：a=2,b=-3,c=5所以所求二次函数是：y=2x2-3x+5二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.2.特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.解：1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？yox所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）又点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,解得a=-2故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－52.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：a=-7b=42c=-59∴二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法2：（利用顶点式）∵当x=3时，有最大值4∴顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4∵函数图象过点（4，-3）∴a(4-3)2+4=-3∴a=-7∴二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+43.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。解:∵二次函数的对称轴为直线x=3∴设二次函数表达式为y=a(x-3)2+k图象过点A(0,5),B(5,0)两点∴5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：a=1k=-4∴二次函数的表达式:y=(x-3)2-4即y=x2-6x+5小结:已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。交点式y=a(x-x1)(x-x2).x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线就是抛物线的对称轴.221xxx1：已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）∴又∵点（0，1）在图像上，∴a=-1即：∴∴∴解：（交点式）∵二次函数图象经过点(3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)∵函数图象过点(1,4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+32：已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便其它解法：（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴a+b+c=4①a-b+c=0②9a+3b+c=0③解得：a=-1b=2c=3∴函数的解析式为：y=-x2+2x+3（顶点式）解：∵抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴(-1+3)/2=1∴点(1,4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4∵抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=-1∴函数的解析式为：y=-(x-1)2+43已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．(-1,0)(3,0)X=1由题意,得:解:设图象与x轴的交点坐标为(,0),(,0),4121221xxxx3121xx)1)(3(xxay设把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)解得:a=1∴y=x2-2x-31x2x四、用平移式求二次函数的解析式、1.将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法：将二次函数的解析式转化为顶点式得：(1)、由向左平移4个单位得：（左加右减）（2）、再将向下平移3个单位得（上加下减）即：所求的解析式为一、求二次函数的解析式的一般步骤：一设、二列、三解、四还原.二、二次函数常用的几种解析式的确定1、一般式已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。2、顶点式3、交点式4、平移式将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。二次函数关系:y=ax2(a≠0)y=ax2+k(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2(a≠0)顶点式一般式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)交点式)0,)(0,212xxXcbxaxy轴交于两点（与条件：若抛物线三、求二次函数解析式的思想方法1、求二次函数解析式的常用方法：2、求二次函数解析式的常用思想：3、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想:解方程或方程组无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。活学活用加深理解1.某抛物线是将抛物线y=ax2向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。顶点坐标（1，1）设y=a(x-1)2+12.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。顶点坐标（1，-8）设y=a(x-1)2-83.已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。顶点坐标（1，-4）设y=a(x-1)2-44.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大值为2，求函数的表达式。顶点坐标（4，2）设y=a(x-4)2+22、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。∴解：设二次函数的解析式为∵x=1,y=-1,∴顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上，∴a=1即：∴∴解：设y=a(x＋1)2-31.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与x轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？yox(0,-5)-5=a-3a=-2y=－2(x＋1)2-3即：y=-2x2—4x－5练习y=-2（x2＋2x＋1）-3所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1)3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？又∵点M(0,1)在抛物线上∴a(0+1)(0-1)=1解得：a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0)，选择最优解法，求下列二次函数解析式：1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解析式为__________.2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3)，且经过点(1,4),设抛物线解析式为____________.3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2,3)，(-4,5)，设抛物线解析式为_________.4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，设抛物线解析式为________.5、已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(1，0)，且经过点(2,-3),设抛物线解析式为_______.做一做题组训练1、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的解析式.2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。4、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(-1，0)，(3，0)，（0,3）。〔议一议〕通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）你能否总结出上述解题的一般步骤?1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标;4.列方程(或方程组);5.解方程或方程组,求待定系数;6.写出函数的表达式;