北航数值分析试题及解答2009

第1页北航数值分析2009年试题计算题解答四、计算1、用二级二阶R-K方法解初值问题()()000t225sin00xtyxtxytxytyì¢=-+=í¢=--+=ïî时，由绝对稳定性对步长有何限制？解：微分方程组的Jacobi矩阵为125tt-éù=êú--ëûA由()det0l-=IA解得A的特征值为21,2342tl=-±-当02t££时，12,ll都是实数。对于1l，由绝对稳定区间20hl-，得到h的取值范围202220min3342tht££=--对于2l，又得到202220min5342tht££=+-易知，当02t££时，对h的限制为205h。当22t££时，21,2324itl=-±-，由()2112hhll++得()()222324132412hithitéù-±-êúëû+-±-+第2页如果直接求解此不等式，将非常复杂。因此，我们采取绘图的方法。当t在22t££的范围内变化时，特征根的轨迹如图1中的红线所示。图1绘图分析当25h=时，绝对稳定条件为()20.410.412ll++（1）式（1）表示的区域是图1中绿色曲线内部的区域。由图1可以看出，红线轨迹被完全包含在绿线围成的区域之内。因此，当22t££时，用步长25h=求解是绝对稳定的。当205h时，绝对稳定区域比图1中绿线围成的区域大，且都包含图1中绿线围成的区域（如图2所示），因此，当22t££时，用步长205h求解是绝对稳定的。-7-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234第3页图2绘图分析（2）综上所述，如果在整个求解区间0t2££内用不变的步长，则应使得h满足205h