有限差分法实验报告

工程电磁场实验报告——有限差分法老师：XXX姓名：XXX学号：XXXXXXX时间：2011年3月27日用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布一、实验要求按对称场差分格式求解电位的分布已知：给定边值：如图1-7示图1-7接地金属槽内半场域的网格给定初值)()(.1j401001jp12ji误范围差:510计算：迭代次数N，ji,，将计算结果保存到文件中二、实验思想有限差分法有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。0V10000泊松方程的五点差分格式)(414243210204321FhFh当场域中,0得到拉普拉斯方程的五点差分格式)(41044321004321差分方程组的求解方法(1)高斯——赛德尔迭代法][)(,)(,)(,)(,)(,2k1jikj1i1k1ji1kj1i1kjiFh41(1-14)式中：,2,1,0,2,1,kji，迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足)(,)(,kjilkji为止。（2）超松弛迭代法][)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4(1-15)式中：——加速收敛因子)21(可见：迭代收敛的速度与有明显关系三、程序源代码#includeiostream.h#includemath.h#includeiomanip.hdoubleA[5][5];voidmain(void){doubleBJ[5][5];//数组B用于比较电势ints[100];//用于储存迭代次数doubled[100];//用于记录所有的加速因子d[0]=1.0;inti,j,N=0,M=0,x;for(i=0;i100;i++)图1-4高斯——赛德尔迭代法d[i]=0.01*i+d[0];//加速因子从1.0到2.0之间的20个数！doublew[100][10];intP,Q;for(P=0;P4;P++)for(Q=0;Q5;Q++)A[P][Q]=0;for(P=0;P5;P++)A[4][P]=100;cout数组A的所有元素是:endl;for(i=0;i5;i++)for(j=0;j5;j++){coutA[i][j]setw(6);if((5*i+j+1)%5==0)cout'\n';}intpp=0;for(x=0;x100;x++){do{for(i=0;i5;i++)for(j=0;j5;j++)BJ[i][j]=A[i][j];for(i=1;i4;i++)for(j=1;j4;j++)A[i][j]=BJ[i][j]+(d[x]/4)*(BJ[i+1][j]+BJ[i][j+1]+A[i-1][j]+A[i][j-1]-4*BJ[i][j]);//迭代公式for(i=1;i4;i++){for(j=1;j4;j++)if(fabs(A[i][j]-BJ[i][j])1e-5)pp++;}N++;}while(pp=9);pp=0;for(i=0;i3;i++)w[M][i+1]=A[1][i+1];for(i=3;i6;i++)w[M][i+1]=A[2][i-2];for(i=6;i9;i++)w[M][i+1]=A[3][i-5];s[M]=N;M++;N=0;intP,Q;for(P=0;P4;P++)for(Q=0;Q5;Q++)A[P][Q]=0;for(P=0;P5;P++)A[4][P]=100;}intmin=s[0];intp,q;cout输出所有的加速因子的迭代次数:'\n';for(q=1;q100;q++){//couts[q]setw(6);//if(q%12==0)//cout'\n';if(mins[q]){min=s[q];p=q;}}coutendl;if(min==s[0])p=0;cout最佳加速因子a=;coutd[p]'\n';cout迭代次数为：min'\n';cout最佳收敛因子对应的各个格内点的电位为：'\n';for(i=1;i10;i++){coutw[p][i]'\t';if(i%3==0)cout'\n';}cout'\n';}四、程序框图迭代解程序框图启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求)(,lNji所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于停机打印),(jiN，NY五、结果分析迭代收敛的速度与的关系收敛因子（）1.01.71.81.831.851.871.902.0迭代次数（N）1000269174143122133171发散最佳收敛因子的经验公式：)sin(p120（正方形场域、正方形网格）220q1p122（矩形场域、正方形网格）程序执行结果如下