数理统计复习

第六章数理统计总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。样本：来自总体的部分个体X1，…，Xn样本具有的两个重要性质：（1）同分布性：Xi，i=1,…,n与总体同分布.（2）独立性：X1，…，Xn相互独立；统计量：如果g(X1，…，Xn)不含未知参数，则样本X1，…，Xn的函数g(X1，…，Xn)是总体X的一个统计量统计量的分布称为抽样分布。【2—分布、t—分布和F—分布。】（一）、2—分布2221121.,,~(0,1),~()..niidniiXXNXnn构造设则称为自由度为的分布【1,,nXX都服从N（0,1）且相互独立】3.分位点：设X~2(n)，若对于：01，存在2()0n，满足2{()},PXn则称2()n为2()n分布的上分位点。【即为横轴的数值，表示面积】4.性质：a.分布可加性：若X~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y独立，则X+Y~2(n1+n2)b.期望与方差：若X~2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n22(1)pn22221111(1)Pnpn（二）、t—分布1.构造若X~N(0,1),Y~2(n),与独立，则~()./XTtnYn（用于验证是否符合t分布)2.基本性质:（1）其图形是对称的（2）t分布的极限分布是标准正态。即221lim()(),2tnfttex（三）、F—分布1.构造：若1~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则111222/~(,)./nFFnnn【第一自由度为n1,第二自由度为n2】正态总体的抽样分布定理单个正态总体的抽样分布211.,,~(,),~(0,1)/iidnXXXNUNn若则21222222.,,~(,),(1)(1);(2)~(1);iidnXXNnSXSn若如果与相互独立~(1)./XTtnSn那么：两个正态总体的抽样分布2222112212221222111222221)1)3.1(1),(1)/.~(1,1);/nSnSnnSFFnnS（（（）若且两样本独立那么：2212121212222112212()(2),~(1,1).11(1)(1).2wwXYTtnnSnnnSnSSnn假定且未知，就有其中:称为混合样本方差22121222121212221212()(3),,~(0,1).()()();()()().XYNnnEXYEXEYDXYDXDYnn进一步假定且知，就有+其中:+称为混合样本方差第七章参数估计参数估计的概念：设X1，…，Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x;),。其中为未知参数,为参数空间,若统计量g(X1，…，Xn)可作为的一个估计,则称其为的一个估计量，1ˆg(,,).nXX即点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。（一）、矩估计法用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数。三、极大似然估计法【分清离散型与连续性的极大似然估计法的使用】3、求极大似然估计的步骤1、写出似然函数L(P)2、整理出对数似然函数lnL(P)3、对上面的对数似然函数进行求导，并使导数为零。单个正态总体参数的区间估计待估参数是方差时，如果总体均值已知，则卡方分布的自由度是n,如果已知的只是样本均值，则自由度是n-1双正态总体参数的置信区间待估参数是均值时，若还没知道两方差是否相等，则需先检验方差是否相等第八章假设检验1、检验的两类错误称H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记=p{拒绝H0|H0真};=p{接受H0|H0假}2、显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平的值,参考H1,令P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)比较统计量的值,若统计量W,则拒绝H0,否则接受H0单正态总体参数的假设检验参数是均值参数是方差如果是双侧检验，则显著水平是2，当是单侧检验时，1H是“”,则拒绝域中同为“”，且显著水平是。需要注意到，卡方检验在双侧检验时拒绝域的取值方式。双正态总体均值差与方差比的假设检验使用t检验，若还没有知道两方差是否相等，则需要先检验方差是否相等需要注意到，F检验在双侧检验时拒绝域的取值方式。检验的p值如果p，则在显著性水平下拒绝H0；如果p，则在显著性水平下保留H0.第九章方差分析单单因因素素方方差差分分析析1、全体样本ijx对总的样本均值TSS的偏差平方和，称为总偏差平方和，简称为总平方和，记作TSS，即21111=iinnaaTijijijijSSxxxC2、各组样本均值ix对总的样本均值x的偏差平方和，称为因素A的效应平方和（或组内平方和）即2211()=aaAiAiiiiiTSSnxxCn3、各个样本ijx对本组样本均值ix的偏差平方和的总和，称为误差平方和（或组内平方和）即211()=inaEijiTAijSSxxSSSS1iinAijjTx1iaAiTT2TCn0.050.01(1,),.(1,),FFanaFFana当时称为显著当时称为高度显著双双因因素素无无重重复复方方差差分分析析第十章回归分析回归方程反映了y的数学期望E(y)随x的变化而变化的规律性。y与x的相关关系表示为()yx参数的最小二乘法估计给出的最小二乘法评判标准^220111()()nniiiiiiyyyx其中：当题目要求求先行回归方程时，需计算出以下各数值22211221111()()()()nnxxiiiinnyyiiiinnxyiiiiiiSxxxnxSyyynySxxyyxynxy101=,=xyxxSyxS回归方程的显著性F检验计算出各值之后，进行F检验，最后画出方差分析表。相关系数检验r检验22()()()()iixyixxyyiiiixxyySrSSxxyyr0时是正相关，r0时是负相关。022(2)~(1,2)/(2)1REHSSnrFFnSSnr当假设成立时检验统计量0(1,2)HFFn故假设的拒绝域为r检验法的步骤和法则为:由试验数据计算出相关系数r的值并与临界值比较.0.050.050.010.01(1)(2),,;(2)(2)(2),;(3)(2),.rrnyxrnrrnyxrrnyx若则认为与之间的线性相关关系不显著或者不存在线性相关关系若则认为与之间的线性相关关系显著若则认为与之间的线性相关关系特别显著当n充分大时，数学期望为0010yx，方差是22ESSsn